广东省惠州市东江高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-13 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{0, 1, 2\}$ ， $N = \{x |x^{2} - 3 x < 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 3\}$ D、 $\{x |0 < x < 3\}$

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2. 命题 $p$ ： $\forall x > 1$ ， $x^{2} - m > 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$

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3. 下列函数中与函数 $y = x$ 是同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $m = \frac{n^{2}}{n}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $u = \sqrt[3]{v^{3}}$

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4. 已知 $x > - 1$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值为

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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5. 已知函数 $y = g (x)$ 的对应关系如表所示，函数 $y = f (x)$ 的图象是如图所示，则 $g [f (1)]$ 的值为（）
$x$
1
2
3
$g (x)$
4
3
-1

A、-1 B、0 C、3 D、4

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6. 函数 $f (x)$ 为定义在 $[- 1, 2 a + 1]$ 上的偶函数，则实数 $a$ 等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、无法确定

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7. 已知关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - 4 x + m \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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8. 在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时 $t (n)$ （单位：小时）大致服从的关系为 $t (n) = \{\begin{array}{l} \frac{t_{0}}{\sqrt{n}}, n < N_{0} \\ \frac{t_{0}}{\sqrt{N_{0}}}, n \geq N_{0} \end{array}$ （ $t_{0}, N_{0}$ 为常数）．已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大致为（）

A、8小时 B、9.6小时 C、11.5小时 D、12小时

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 2 - x$ B、 $y = x^{2} + 2$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = | x | + 1$

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10. 对于实数 $a, b, c$ ，下列命题为假命题的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ . C、若 $a < b < 0$ 则 $a^{2} > a b > b^{2}$ . D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ .

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11. $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 的较小者，记为 $M (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ，若 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $M (2) = - 3$ B、函数 $M (x)$ 有最大值，无最小值 C、不等式 $M (x) \leq - 4$ 的解集是 $(- \infty, - 5]$ D、若 $a, b, c$ 是方程 $M (x) + 1 = 0$ 的三个不同的实数解，则 $a + b + c = 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (x + 1) = 2 x$ ，则 $f (x) =$ .

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13. 已知 $- 1 < a < 4$ ， $1 < b < 2$ ，则 $2 a - b$ 的取值范围是.

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14. 若函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 a x + 3, x \leq 1 \\ - x + 1, x > 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知全集 $U = \{- 4, - 1, 0, 1, 2, 4\}$ ， $M = \{x \in Z | 0 \leq x < 3\}$ ， $N = \{x ∣ x^{2} - x - 2 = 0\}$

(1)、求 $M \cap N$ ；

(2)、求 $∁_{U} (M \cup N)$ ：

(3)、求 $(∁_{U} M) \cup (∁_{U} N)$ .

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16. 已知全集 $U = R$ ，集合 $P = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ， $Q = {x | - 2 \leq x \leq 5} ．$

(1)、若 $a = 3$ ，求 $(∁_{U} P) \cap Q ；$

(2)、若“ $x \in P$ ”是“ $x \in Q$ ”充分不必要条件，求实数 a的取值范围．

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17. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润 $y$ （单位：万元）与运转时间 $x$ （单位：年）的函数解析式为 $y = - x^{2} + 12 x - 9$ （ $x \leq 11$ ，且 $x \in N^{*}$ ）．

(1)、当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？

(2)、当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

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18. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并求在 $f (x)$ 区间 $[- 2, - 1]$ 上的值域；

(3)、解不等式 $f (1 - m) + f (1 - m^{2}) < 0$ .

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19. 若函数 $G$ 在 $m \leq x \leq n (m < n)$ 上的最大值记为 $y_{max}$ ，最小值记为 $y_{min}$ ，且满足 $y_{max} - y_{min} = 1$ ，则称函数 $G$ 是在 $m \leq x \leq n$ 上的“美好函数”.

(1)、函数① $y = x + 1$ ② $y = x^{2}$ ，哪个函数是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“美好函数”，并说明理由；

(2)、已知函数 $G : y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ .
①函数 $G$ 是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“美好函数”，求 $a$ 的值；
②当 $a = 1$ 时，函数 $G$ 是在 $t \leq x \leq t + 1$ 上的“美好函数”，求 $t$ 的值.

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$x$	1	2	3
$g (x)$	4	3	-1