浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-09 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- 45 °$ B、 $45 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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2. 已知直线 $l_{1}$ 的一个方向向量为 $(- 1, 2)$ ，直线 $l_{2}$ 的一个方向向量为 $(m, 6)$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、6 D、9

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3. 若点 $(1, a)$ 在圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的内部，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $[0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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4. 空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $M$ 为 $O A$ 中点， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{N M}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知圆 $M$ 经过 $P (1, 1)$ ， $Q (- 7, - 5)$ 两点，且圆心 $M$ 在直线 $l : x - 2 y - 1 = 0$ ，则圆 $M$ 的标准方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 13$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

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6. 方程 $\frac{x^{2}}{3 + m} + \frac{y^{2}}{1 - m} = 1$ 表示椭圆的充要条件是（）

A、 $- 3 < m < - 1$ B、 $m > - 1$ C、 $- 3 < m < 1$ D、 $- 3 < m < - 1$ 或 $- 1 < m < 1$

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7. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B C$ 与直线 $A F$ 垂直 B、三棱锥 $F - A B E$ 的体积为 $\frac{1}{12}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 D、直线 $B C$ 与平面 $A E F$ 所成的角为 $45 °$

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8. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上任意一点，过 $F_{1}$ 引 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $Q$ 与短轴端点的最近距离为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (2, 1, - 1)$ ， $B (- 3, - 4, - 5)$ ，下列结论正确的有（）

A、 $|A B| = 3 \sqrt{5}$ B、向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、点 $A$ 关于 $z$ 轴的对称点坐标为 $(- 2, - 1, - 1)$ D、直线 $A B$ 的一个方向向量 $\vec{u} = (10, 10, 8)$

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10. 已知直线 $l$ 的倾斜角等于 $120 °$ ，且 $l$ 经过点 $(- 1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{u} = (\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2})$ B、 $l$ 在 $x$ 轴上的截距等于 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$ C、 $l$ 与直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 2 = 0$ 垂直 D、点 $(- 1, 0)$ 到直线 $l$ 上的点的最短距离是1

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11. 已知直线 $l : k x + y + 2 k - 1 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 y - 7 = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称，则 $k = - 1$ B、 $|A B|$ 的最小值为 $4 \sqrt{3}$ C、若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $O$ （ $O$ 为坐标原点）四点共圆，则 $k = \frac{10}{3}$ D、当 $k = 3$ 时，对任意 $λ \in R$ ，曲线 $W : x^{2} + y^{2} + 3 λ x + (λ - 6) y + 5 λ - 7 = 0$ 恒过直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则椭圆的离心率是.

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13. 直线 $y = \sqrt{3} x$ 关于直线 $y = x$ 对称的直线的方程为.

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14. 已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 4 a - 2 b - 1$ ，则 $\frac{b - 2}{a - 2}$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.

15. 求经过直线 $l_{1} : 3 x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x - y + 6 = 0$ 的交点 $M$ ，且分别满足下列条件的直线方程：

(1)、与直线 $2 x + y - 3 = 0$ 平行；

(2)、与直线 $x + y - 3 = 0$ 垂直.

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16. 如图所示，在几何体 $A B C D E F G$ 中，四边形 $A B C D$ 和 $A B F E$ 均为边长为 $2$ 的正方形， $A D // E G$ ， $A E ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $D G$ 、 $E F$ 的中点， $E G = 1$ .

(1)、求证： $M N //$ 平面 $C F G$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $C F G$ 的距离.

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17. 已知直线 $l : a x - y + 4 - a = 0 (a \in R)$ 及圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

(1)、求证：直线 $l$ 过定点，并求出圆心 $C$ 到直线 $l$ 距离最大时的 $a$ 值；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $P A = 2$ ， $E$ 为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ ，点 $Q$ 在棱 $C P$ 上（不与点 $C$ ， $P$ 重合）.

(1)、求证：平面 $D E Q ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的平面角的余弦值；

(3)、直线 $Q E$ 能与平面 $P C D$ 垂直吗？若能，求出 $\frac{C Q}{C P}$ 的值；若不能，请说明理由.

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ . $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 、 $B$ 的圆 $G$ 交直线 $x = 1$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，直线 $A M$ 、 $A N$ 分别交椭圆 $E$ 于 $P$ 、 $Q$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、证明：直线 $P Q$ 过定点，并求该定点坐标.

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