浙江省台州市台州十校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合 $A = {3, 5}$ ，集合 $B = {1, 2, 4, 5}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 ${1, 2, 3, 4, 5, 5}$ B、 ${1, 2, 3, 4, 5}$ C、 ${2, 3, 4, 5}$ D、 ${5}$

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2. 命题“∀x＞0，x²＞0”的否定是（）

A、∀x＞0，x²＜0 B、∀x＞0，x²≤0 C、∃x₀＞0，x²＜0 D、∃x₀＞0，x²≤0

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3. 函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 ${x ∣ x \geq 1}$ B、 ${x ∣ x > 1}$ C、 ${x ∣ x \leq 1}$ D、 ${x ∣ x < 1}$

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4. 已知 $a, b$ 为实数，则“ $a > b > 1$ ”是“ $(a - 1) (b - 1) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = x + \frac{|x|}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $0 < x < 1$ ，则 $x (1 - x)$ 取最大值时 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，则 $a x^{2} - b x + 1 < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x < - \frac{1}{5}}$ C、 ${x | - \frac{1}{2} < x < - \frac{1}{3}}$ D、 ${x | \frac{1}{5} < x < 1}$

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8. 已知“不小于 $x$ 的最小的整数”所确定的函数通常记为 $f (x) = [x]$ ，例如： $[1.2] = 2$ ，则方程 $[x] = \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$ 的正实数根的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题各有四个选项，有多个选项正确）

9. 设x，y为实数，满足 $1 \leq x \leq 4, 1 < y \leq 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 < x + y \leq 6$ B、 $0 < x - y \leq 2$ C、 $1 < x y \leq 8$ D、 $\frac{x}{y} \geq 2$

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10. 下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（）

A、 $f (x) = |x|$ 和 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{3} + 1$ 和 $g (t) = t^{3} + 1$ C、 $f (x) = 3 x + 1$ 和 $g (x) = 3 x - 2$ D、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x} - 3$ 和 $g (x) = x - 3$

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11. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上有最大值 $f (n)$ D、 $f (x - 1) + f (x^{2} - 1) > 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x, x > 1 \\ x^{2} + 1, x \leq 1 \end{cases}$ ，则 $f (2) =$ ．

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13. 已知正数 $x$ ， $y$ 满足： $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，则 $x + 4 y$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ， $g (x) = m x + 5 - 2 m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [1, 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 4]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是 .

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四、解答题（共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知集合 $A = {x |- 2 < x < 4}, B = {x |x < a}$

(1)、若 $a = 3$ ，求 $∁_{R} B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 设函数 $f (x) = \frac{k}{x}$ ，其图像过点 $(1, 4)$

(1)、求出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明．

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17. 某租赁公司，购买了一辆小型挖掘机进行租赁.据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润 $y$ （单位：万元）与租赁年数 $x (x \in N^{*})$ 的关系为 $y = - x^{2} + 14 x - 36$ .

(1)、该挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过 $9$ 万元？

(2)、该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？

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18. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x$

(1)、在坐标系里画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数的单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(3)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq m + 2 x$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4 | x - a | + 2 a$

(1)、若 $a = 0$ ，判断 $f (x)$ 的奇偶性，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最小值．

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