广东省梅县东山中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-19 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1. 已知集合 $A = {x | l n (x - 1) \geq 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[2, 3)$ C、 $(0, + ∞)$ D、 $[2, + \infty)$

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2. 若 $- 1 \leq x \leq 2$ 是 $- 2 < x < a$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）．

A、 $a \geq 2$ B、 $a > 2$ C、 $a \leq 2$ D、 $a < 2$

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3. 若复数z满足 $(1 - 3 i) z = 3 - i$ （i为虚数单位），则z的模 $|z| =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、1 C、 $\sqrt{10}$ D、5

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4. 已知 $a = 3^{0.4}$ ， $b = \log_{0.5} 4$ ， $c = \cos (- \frac{π}{18})$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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5. 若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $(n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1} (n \geq 2), a_{1} = 2$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、2 B、6 C、12 D、20

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6. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $G$ 为线段 $A M$ 上一点， $\vec{A G} = 2 \vec{G M}$ ，过点 $G$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点．设 $\vec{A B} = x \vec{A P} (x > 0)$ ， $\vec{A C} = y \vec{A Q} (y > 0)$ ，则 $\frac{4}{x + 2} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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7. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x} - 1$ 和 $y = e^{x - 1}$ 的公切线，则实数k的值是（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e$ C、0 D、1

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8. 已知 $y = f (x)$ 是定义域为R的奇函数，若 $y = f (2 x + 1)$ 的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（       ）
① $f (\frac{1}{4}) + f (\frac{3}{4}) = 0$              ② $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 0$
③ $f (x)$ 的一个对称中心为 $(1, 0)$        ④ $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{1}{2}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, - 1)$ ，则（）

A、当 $m = 2$ 时， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、当 $m = 3$ 时， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 5 \vec{b})$ C、当 $m = - 3$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ D、当 $m < 2$ 时， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为钝角

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10. 已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{2}) - cos (\frac{3 π}{2} + x),$ 则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到 B、 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、若 $α \in (- \frac{π}{2}, 0), f (α) = 5 cos 2 α$ ，则 $cos 2 α = \frac{7}{25}$

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11. $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 0.5] = - 1$ ， $[1.1] = 1$ ，已知函数 $f (x) = [x]$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{4} < - [f (x) + \frac{1}{4}]$ B、 $f (x + y) < f (x) + f (y)$ C、设 $g (x) = f (2 \sqrt{5} x) + f (\frac{x^{2}}{20})$ ，则 $\sum_{k = 1}^{20} g (k) = 401$ D、所有满足 $f (m) = f (n) (m, n \in [0, \frac{14}{3}])$ 的点 $(m, n)$ 组成的区域的面积和为 $\frac{40}{9}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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13. 设实数 $m > 0$ ，若对 $\forall x \in (0, + \infty),$ 不等式 $e^{m x} - \frac{\ln x}{m} \geq 0$ 恒成立，则m的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x + 4 (x \leq 0) \\ |\lg x| (x > 0) \end{array}$ ，方程 ${[f (x)]}^{2} + b f (x) + 1 = 0$ 有六个不相等实根，则实数b的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $(a - c) (\sin A + \sin C) = (b - \sqrt{3} c) \sin B$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $C = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极大值．

(1)、求a的值；

(2)、若 $f (x)$ 有且只有3个零点，求实数b的取值范围．

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17. 已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3}), \vec{b} = ({sin}^{2} x - {cos}^{2} x,sin x cos x),$ 函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $sin α$ 的值．

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}, f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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18. 设函数 $f (x) = 2 e^{x} + 2 sin x - (a + 1) x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值；

(2)、若 $g (x)$ 与 $f (x)$ 关于 $y$ 轴对称，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是 $f (x) = 0$ 的根，首先选取 $x_{0}$ 作为r的初始近似值，若 $f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线与x轴相交于点 $(x_{1}, 0)$ ，称 $x_{1}$ 是r的一次近似值；用 $x_{1}$ 替代 $x_{0}$ 重复上面的过程，得到 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数： $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， ….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 $x_{n - 1}, x_{n} (n \in N^{*})$ 近似值相等时，该值即作为函数 $f (x)$ 的一个零点r.

(1)、若 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x - 3$ ，当 $x_{0} = 0$ 时，求方程 $f (x) = 0$ 的二次近似值（保留到小数点后一位）；

(2)、牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数 $g (x) = e^{x} - 3$ 在点 $(2, g (2))$ 处的切线，并证明： $\ln 3 < 1 + \frac{3}{e^{2}}$ ；

(3)、若 $h (x) = x (1 - \ln x)$ ，若关于x的方程 $h (x) = a$ 的两个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，证明： $x_{2} - x_{1} > e - e a$ .

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