广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-21 类型：期中考试

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一、单选题（每题5分，共40分）

1. 设集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{1, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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2. 已知 $a > b$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a^{2} > a b$ C、 $\frac{a + b}{2} > b$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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3. 下列说法错误的是（）

A、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ”，则 $\neg p$ ：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” B、“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ”的充分条件 C、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 D、已知a， $b \in R$ ，则“ $a b > 1$ ”是“ $a > 1$ 且 $b \leq 1$ ”的充分而不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq 0 \\ f (x - 1) - f (x - 2), x > 0 \end{array}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- l$ C、0 D、1

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5. 若函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 的定义域是 $(- \infty, 1) \cup [2, 5)$ ，则其值域为（）.

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[0, \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 2]$

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6. 已知不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则实数 $a + b =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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7. 已知命题“ $\forall x \in [1, 4], e^{x} - \frac{2}{x} - m \geq 0$ ”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, e - 2]$ B、 $(- \infty, e^{4} - \frac{1}{2}]$ C、 $[e - 2, + \infty)$ D、 $[e^{4} - \frac{1}{2}, + \infty)$

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8. 若函数 $g (x)$ 在定义域 $[c, d]$ 上的值域为 $[g (c), g (d)]$ ，则称 $g (x)$ 为“ $Ω$ 函数”.已知函数 $g (x) = \{\begin{cases} 5 x, 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + n, 2 < x \leq 4 \end{cases}$ 是“ $Ω$ 函数”，则实数 $n$ 的取值范围是（）

A、 $[4, 10]$ B、 $[4, 14]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[10, + \infty]$

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二、多选题（每题6分，共18分）

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $y = x^{2} - 1$ B、 $y = x - 2$ C、 $y = \sqrt{| x |}$ D、 $y = x + \frac{1}{x}$

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10. （多选）以下关于数的大小的结论正确的是（　　）

A、 ${1.7}^{2.5} ＜ {1.7}^{3}$ B、 ${0.8}^{﹣ 0.1} ＜ {0.8}^{﹣ 0.2}$ C、 ${1.5}^{0.3} ＜ {0.9}^{3.1}$ D、 ${(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}} ＜ {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x y) = y^{2} f (x) + x^{2} f (y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 是偶函数

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. 若函数 $y = 7 + a^{x - 3}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）经过的定点是P，则P点的坐标是．

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13. 已知f(x＋ $\frac{1}{x}$ )＝x²＋ $\frac{1}{x^{2}}$ ，则函数f(x)＝．

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14. 已知关于x的不等式（ax﹣a²﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为．

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四、解答题（5小题，共77分）

15. （1）解不等式 $- x^{2} + 2 x + 3 < 0$
（2）解不等式 $\frac{1}{x} < 2$

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16. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 9 x + 18 \leq 0\}$ ， $B = {x ∣ 4 < x < 9}$ .

(1)、分别求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ .

(2)、已知 $C = {x ∣ m - 2 < x < m + 1}$ ，且 $C \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 已知二次函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(- 1, 3)$ ，且不等式 $f (x) - 7 x < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{4}, 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - m x$ ，若 $g (x)$ 在 $(2, 4)$ 上是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m - 1}$ ，且 $f (x) = f (- x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = \frac{f (x)}{f (x) + 1}, a, b$ 均为正数且 $g (a) + g (b) = 1$ ，求 $f (a) + f (b)$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若方程 $f (x) = 2 a - 1$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $a$ 的取值范围.

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