浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-20 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在空间直角坐标系中，点 $(- 2, 6, 3)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(- 2, 6, - 3)$ B、 $(- 2, - 6, - 3)$ C、 $(2, 6, - 3)$ D、 $(2, 6, 3)$

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2. 已知平面 $α$ ， $β$ ，直线 $m$ ，且 $α ⊥ β$ ，则“ $m ⊥ α$ ”是“ $m$ ∥ $β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知复数 $z$ 满足 $2 \bar{z} - z = 3 + 6 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 + 2 i$ D、 $- 3 - 2 i$

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4. 已知 $a > 0, b > 0$ ，两直线 $l_{1} : (a - 1) x - 2 y - 1 = 0, l_{2} : x - 3 b y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为（）

A、12 B、20 C、26 D、32

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5. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 $1, 2, 3, 4$ ，乙罐中有三个相同的小球，标号为 $1, 2, 3$ ，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 $A =$ “抽取的两个小球标号之和大于6”，事件 $B =$ “抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）

A、事件 $A$ 发生的概率为 $\frac{1}{12}$ B、事件 $A, B$ 相互独立 C、事件 $A, B$ 是互斥事件 D、事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{2}{3}$

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6. 当圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 60 = 0$ 截直线 $l : m x - 3 y - m + 9 = 0$ 所得的弦长最短时，实数 $m =$ （）

A、－1 B、 $- \sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边 $A B C D E F G H$ ，其中 $|\vec{O A}| = 1$ 给出下列结论，其中正确的结论为（）

A、 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O H}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $|\vec{O A} - \vec{O C} |= \sqrt{2}| \vec{D H}|$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O D}$ 上的投影向量为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{e}$ （其中 $\vec{e}$ 为与 $\vec{O D}$ 同向的单位向量）

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8. 已知锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别 $a, b, c$ ，且 $a cos C + c cos A = 2 b cos B$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ C、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \sqrt{3})$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 已知甲组数据为： $2, 3, 4, 4, 6, 8, 8$ ，乙组数据为： $1, 4, 4, 7, 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、这两组数据的第80百分位数相等 B、这两组数据的极差相等 C、这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变 D、甲组数据比乙组数据分散

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，点 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆两焦点，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，过点 $P$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线 $l$ ，过椭圆的焦点作直线 $l$ 的垂线，垂足是 $Q$ .现有一条长度为4的线段 $M N$ 在直线 $m : x - y + 4 = 0$ 上运动，且始终满足 $∠ M Q N$ 为锐角，则（）

A、点 $Q$ 的轨迹方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、点 $Q$ 有可能在以 $M N$ 为直径的圆上 C、点 $Q$ 不可能在直线 $m$ 上 D、线段 $M N$ 的中点的纵坐标的取值范围是 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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11. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A、直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、三棱锥 $B - A D P$ 的外接球的表面积为 $\frac{9 π}{4}$ C、直线 $D P$ 与直线 $A C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，那么 $Q$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若直线 $l$ 的一个方向向量 $\vec{n} = (3, - \sqrt{3})$ ，则 $l$ 的倾斜角大小为．

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13. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2， $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 $90 °$ ，则图中平面 $A_{1} C D_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为.

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14. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点是 $F$ ，左、右顶点分别是 $A_{1}, A_{2}$ ，过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于 $B, C$ 两点，若 $A_{1} B ⊥ A_{2} C$ ，则双曲线的离心率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为： $[60, 65), [65, 70), [70, 75), [75, 80), [80, 85), [85, 90)$

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求这100户居民问卷评分的中位数；

(3)、若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在 $[65, 70)$ 和 $[70, 75)$ 内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在 $[65, 70)$ 内的概率．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a sin C - c sin A cos B - \sqrt{3} b sin A sin C = 0$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3, b = 7$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，求线段 $B D$ 的长．

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17. 如图在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $C D ∥ B E$ ， $C D = 1$ ， $C B ⊥ B E$ ， $A E = B E = A B = B C = 2$ ， $A D = \sqrt{7}$ ， $Q$ 是 $A E$ 的中点．

(1)、求证： $D Q ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、在棱 $A D$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $E M$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{7}$ ，若存在，求 $\frac{A M}{M D}$ 的值，若不存在，说明理由

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18. 如图，已知圆 $M : x^{2} - 10 x + y^{2} + 16 = 0, Q (4, 0), O$ 为坐标原点，过点 $Q$ 作直线 $l$ 交圆 $M$ 于点 $A 、 B$ ，过点 $A 、 B$ 分别作圆 $M$ 的切线，两条切线相交于点 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 的斜率为1，求 $|A B|$ 的值；

(2)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(3)、若两条切线 $P A 、 P B$ 与轴 $y$ 分别交于点 $S 、 T$ ，求 $|S T|$ 的最小值．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，经过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点（其中点 $A$ 在 $x$ 轴上方）， $△ A B F_{2}$ 的周长为8．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，将平面 $x O y$ 沿 $x$ 轴折叠，使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面（平面 $A F_{1} F_{2}$ ）与 $y$ 轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面（平面 $B F_{1} F_{2}$ ）互相垂直．
①若 $θ = \frac{π}{6}$ ，求三棱锥 $A - B F_{1} F_{2}$ 的体积；
②是否存在 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，使得 $△ A B F_{2}$ 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 $\frac{3}{4}$ ?若存在，求 $tan θ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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