浙江省宁波中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-21 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{1, 2, 4, 7\}$ ， $N = \{4, 6, 7\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1, 2, 4, 6, 7\}$ B、 $\{1, 2, 6\}$ C、 $\{4, 7\}$ D、 $\{2, 4\}$

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2. 命题“ $\forall n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \in Z$ ”的否定为（）

A、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \notin Z$ B、 $\forall n \notin N$ ， $n^{2} + n + 2 \notin Z$ C、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \in Z$ D、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} + n + 2 \notin Z$

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3. 已知 $a = 3^{0.2}$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = 2^{0.2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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4. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{3}{a} + \frac{12}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、14 C、15 D、27

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5. 函数 $f (x) = \frac{3 x}{e^{|x|}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $m \in R$ ， “ $m < - \frac{1}{2}$ ”是“方程 $m^{2} x^{2} - (m + 3) x + 4 = 0$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上有两个不等实根”的（）条件.

A、充分必要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要

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7. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ 、信道内信号的平均功率 $S$ 、信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从2000提升至10000，则 $C$ 大约增加了 $(\lg 2 \approx 0.3010)$ （）

A、 $18 %$ B、 $21 %$ C、 $23 %$ D、 $25 %$

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8. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = \{\begin{matrix} f (x), x \geq 0 \\ - f (x), x < 0 \end{matrix}$ ，且 $g (f (x)) - a = 0$ 有8个不同的解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 1$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $0 < a < 1$ D、 $a > 1$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数，且 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ C、 $a c > b c$ D、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$

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10. 已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} - 2 x + 2} - x + 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $f (x + 1)$ 关于原点对称 C、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $x \in [1 - m, 1 + m]$ 上的最大值、最小值分别为 $M$ 、 $N$ ，则 $M + N = 0$

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足：对于 $x, y \in R$ ，都有 $f (x - y) = f (x) f (y) + f (1 + x) f (1 + y)$ ，且 $f (0) \neq f (2)$ ，则以下选项正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ D、 $f (x + 4) = f (x)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = \log_{3} (3 x + 1)$ 的定义域为.

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13. 定义 $f (x) = ⌈x⌉$ （其中 $⌈x⌉$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 $⌈- 1.1⌉ = - 1$ ， $⌈2.1⌉ = 3$ ， $⌈4⌉ = 4$ .以下描述正确的是.（请填写序号）
①若 $f (x) = 2024$ ，则 $x \in (2023, 2024]$ ， ②若 ${⌈x⌉}^{2} - 7 ⌈x⌉ + 12 \leq 0$ ，则 $x \in (2, 4]$ ，
③ $f (x) = ⌈x⌉$ 是 $R$ 上的奇函数，④ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增.

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14. 已知 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + a b - 2 b^{2} = 1$ ，则 $3 a^{2} - 2 a b$ 的最小值为

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 求值

(1)、 $\sqrt[4]{4} \times 32^{\frac{1}{2}} + \ln \sqrt{e} - 2024^{0}$

(2)、 $(\log_{2} 5 + \log_{4} 0.2) (\log_{5} 2 + \log_{25} 0.5)$

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16. 已知集合 $A = \{x| m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ ， $B = \{x | \frac{1}{8} \leq 2^{x - 1} \leq 8\}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与使用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 10 (x^{2} + 3), 0 \leq x \leq 2 \\ 100 - \frac{100}{x + 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为 $11 x$ 元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费） $25 x$ 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - a}{2^{x}}$ 为奇函数，

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性定义加以证明；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - 4) < 0$ 的解集.

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19. 已知函数 $f (x) = |x - a| - \frac{3}{x} + a (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 的解；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{2}{a}$ 有三个不同的正实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $x_{1} x_{2} x_{3} > 3$ .

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