浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-13 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $M = {1, 2, 3}$ ， $N = {2, 3, 4}$ ，则 $∁_{U} (M \cap N) =$ （）

A、 ${5}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${1, 4}$ D、 ${1, 4, 5}$

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2. 下列说法正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $| x + 1 | > 1$ B、“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的充要条件 C、 $\exists x > 0$ ， $x^{3} = - x$ D、“ $x^{2} - x = 0$ ”是“ $x = 1$ ”的必要不充分条件

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3. 已知集合 $\{1, a, \frac{b}{a}\} = \{0, a^{2}, a + b\}$ ，则 $a^{2024} + b^{2024}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、1或 $- 1$

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4. 设函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增 D、是偶函数，且在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减

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5. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = x + \frac{4}{x}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \sqrt{x^{2} + 5} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 5}}$

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6. 函数 $y = \frac{- 6 x}{x^{2} + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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8. 若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $(x - 1) f (x - 2) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1] \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$ C、 $[0, 1] \cup [2, + \infty)$ D、 $[0, 1] \cup [2, 4]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.少选得部分分，错选得0分.

9. 已知幂函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 是减函数 C、 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ D、 $f (x)$ 是偶函数

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10. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{(x, y)| x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、集合 $A$ 有32个子集 B、 $(2, 1) \in B$ C、 $B$ 中所含元素的个数为10个 D、 $(2, 3) \in B$

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11. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域内是减函数 B、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{4}{2 x - 1}$ 的最大值为 $- 3$ C、若不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $- 3 < k \leq 0$ D、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x + y$ 的最小值为2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3]$ ，则 $f (x^{2})$ 的定义域是.

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13. 计算 $\sqrt{{(- \frac{3}{4})}^{2}} + \sqrt[3]{- \frac{27}{64}} + 64^{- \frac{1}{3}} + 16^{0.75} + \sqrt[5]{4} \times {(2^{- \frac{1}{5}})}^{- 3} =$ .

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14. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{\sqrt{x y}}{(x - 2) (y - 1) + 4}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步器.

15. 已知集合 $A = \{x| - 2 \leq x \leq 1\}$ ， $B = \{x| - 1 < x < 2 a\}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知 $f (x) = | x - a | (x - 2) + x (x - a) . (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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17. 某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入 $R$ （单位：元）关于月产量 $x$ （单位：辆）满足函数： $R (x) = \{\begin{array}{l} 380 x - \frac{1}{2} x^{2} (0 \leq x \leq 500), \\ 75000 (x > 500) . \end{array}$

(1)、将利润 $P$ （单位：元）表示为月产量 $x$ （单位：辆）的函数；

(2)、当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

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18. （1）已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{a + b}$ 的最小值；
（2）设 $a > 0$ ， $b > 1$ ，若 $a + b = 2$ ，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值；
（3）求函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 2}$ 的最大值.

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19. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ ，且 $f (\frac{1}{3}) = \frac{3}{10}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并证明你的结论；

(3)、设 $g (x) = (x^{2} + 1) [f (x) + 1] + m (x + 1) - 2$ ，若 $\exists x_{1} \in [1, 2]$ ，对 $\forall x_{2} \in [- 1, 1]$ ，有 $g (x_{1}) \leq 2 f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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