广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-14 类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

1. 命题“ $\forall x \in (0, + \infty), \frac{1}{x} + 1 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in (0, + \infty), \frac{1}{x} + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \notin (0, + \infty), \frac{1}{x} + 1 < 0$ C、 $\forall x \in (0, + \infty), \frac{1}{x} + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in (0, + \infty), \frac{1}{x} + 1 < 0$

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2. 已知全集 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{0, 2\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{0, 2, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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3. 下列图形中，不可作为函数 $y = f (x)$ 图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列四个函数中，与 $y = x$ 表示同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{x}$

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{x} - 10, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x) = 0$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 1$ B、 $10$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{10}$

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6. 若 $a, b > 0$ ，且 $2 a b = a + b$ ，则 $a + b$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 使 “不等式 $x^{2} - 2 x + a > 0$ 在 $x \in R$ 上恒成立” 的一个充分不必要条件是（）

A、 $a > 1$ B、 $a > 2$ C、 $a < 1$ D、 $a > 0$

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8. 平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（）

A、“屏占比”不变 B、“屏占比”变小 C、“屏占比”变大 D、“屏占比”变化不确定

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则 $a c < b c$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$ D、若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} \neq b^{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{a} + 2 \begin{matrix} x > 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} (6 - a) x & x \leq 1 \end{matrix} \end{matrix}$ ，若对于任意的两个不相等实数 $x_{1}, x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则实数 $a$ 的可能取值是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则称 $y = [x]$ 为高斯函数，如： $[- 2.5] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ ．若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的有（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $g (x)$ 是奇函数 C、 $g (x)$ 的值域是 $\{- 1, 0\}$ D、 $g (x)$ 是 $R$ 上的增函数

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．

12. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为．（结果用集合表示）

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13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (9) =$ ．

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14. 已知奇函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $x \cdot f (x) < 0$ 的解集是.

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四、解答题:本大题共5小题，第15题13分，16和17题15分，18和19题17分，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．

15. 已知函数 $f (x) = |x|$ ， $g (x) = - \frac{1}{2} x + 2$ .

(1)、在同一直角坐标系中作出 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的最大者，记为 $M (x) = max \{f (x), g (x)\}$ .例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = max \{f (2), g (2)\} = max \{2, 1\} = 2$ 请写出 $M (x)$ 的解析式；

(3)、请写出 $y = f (x)$ 的一个函数性质，并给予证明.

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16. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ， $B = \{x |4 x - 3 \geq x + 3\}$

(1)、求 $A$ ， $B$ ；

(2)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ； $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(3)、若 $C = \{x |a - 4 \leq x \leq a\}$ ，且 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 的图像关于 $y$ 轴对称.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - 2 (a - 1) x + 1$ 在区间 $(2, 3)$ 内具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、用单调性定义证明函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{x^{2}}$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增.

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18. 迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000 ${cm}^{2}$ ，四周空白的宽度为10 $cm$ ，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5 $cm$ .
（1）试用栏目高 $a cm$ 与宽 $b cm$ （ $a > 0, b > 0$ ）表示整个矩形广告面积 $S {cm}^{2}$ ；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + 3$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 4 x + 3 > 0$ 的解集为 ${x | b < x < 1}$ ，求 $a ， b$ 的值．

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > - a x - 1$ 的解集．

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