浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-21 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．

1. 已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}, B = \{x ∣ y = \sqrt{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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2. 下列函数中，既是奇函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = |x| + 1$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = - x^{2} + 1$ D、 $y = - \frac{2}{x}$

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3. 设命题p： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 2 m \geq 0$ （其中m为常数），则“命题p为真命题”是“ $m > \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = 2^{|x|} - x^{2}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a = {0.1}^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{0.1}$ ， $c = 2^{0.02}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c<a<b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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6. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则函数 $g (x) = b^{x + a} - 1 (b > 1)$ 的图像过定点（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(1, - 1)$

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1 - 2 b}{x} - 2 b + 5 ， 0 < x < 1 \\ x^{2} + (2 - b) x ， x \geq 1 \end{array}$ 对于任意的实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ 成立，则实数 $b$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 4]$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 4]$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $2 x + y + \frac{x}{y}$ 的最小值为（）

A、9 B、10 C、11 D、13

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若 $a > b > 0, d < c < 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a - d > b - c$ C、 $\frac{1}{d} < \frac{1}{c}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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10. 下列说法中正确的有（）

A、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和函数 $g (x) = x$ 表示同一个函数 C、函数 $y = 2 x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (- x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x) = \frac{2}{3} x + 1$

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11. 函数 $f (x)$ 在 $[a$ ， $b]$ 上有定义，若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [a$ ， $b]$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ⩽ \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$ ，则称 $f (x)$ 在 $[a$ ， $b]$ 上具有性质 $P$ ．设 $f (x)$ 在 $[1$ ， $3]$ 上具有性质 $P$ ，下列命题正确的有

A、 $f (x)$ 在 $[1$ ， $3]$ 上的图象是连续不断的 B、 $f (x^{2})$ 在 $[1$ ， $\sqrt{3}]$ 上具有性质 $P$ C、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得最大值1，则 $f (x) = 1$ ， $x \in [1$ ， $3]$ D、对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} \in [1$ ， $3]$ ，有
$f (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}) ⩽ \frac{1}{4} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + f (x_{4})]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - 2^{x}} + \frac{2}{2 + x}$ 的定义域为．

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13. 已知不等式 $a x^{2} + (a + 3) x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ，则 $a =$ ，函数 $y = \sqrt{a x^{2} + c x}$ 的单调递增区间为.

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x^{2} - 2 x|, & x \leq 3, \\ 6 - x, & x > 3 \end{array}$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c (a < b < c)$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c) > 1$ ，记 $M = a f (a) +$ $b f (b) + c f (c)$ ，则 $M$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 计算：

(1)、 $- {(\sqrt[3]{8} - 4)}^{0} + \sqrt{{(3 - π)}^{2}} + {0.064}^{- \frac{1}{3}}$ ；

(2)、已知 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 1$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} - 1}{a^{2} + a^{- 2} + 1}$ 的值．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{x^{2} + n}$ 的图象过点 $(1, 1)$ 和 $(2, \frac{1}{2})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明 .

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17. 已知集合 $A = \{x |\frac{2 x + 1}{x - 1} < 1\}$ ， $B = \{x |2 x^{2} + (m - 2) x - m < 0\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、已知“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求实数m的取值范围.

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18. 某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为 $x^{2} + 2 x$ 万元（今年为第一年）.

(1)、试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？

(2)、该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：
①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；
②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.
试问哪一种方案较为划算？请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = a^{x} - \frac{1}{a^{x}} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $f (1) > 0$ ，试判断函数 $f (x)$ 的单调性.并求使不等式 $f (k \cdot 3^{x}) + f (4 \cdot 3^{x} - 9^{x} - 1) < 0$ 在 $R$ 上恒成立的 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (1) = \frac{3}{2}, g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 2 m f (x)$ ，且 $g (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值.

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