浙江省诸暨中学暨阳分校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 2, k)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、以上都不对

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2. 若方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $m$ ， $n$ 的一组可能取值是（）

A、 $m = 2$ ， $n = 1$ B、 $m = 1$ ， $n = 2$ C、 $m = 1$ ， $n = \frac{1}{2}$ D、 $m = \frac{1}{2}$ ， $n = \frac{1}{3}$

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3. 过 $A (a, 1)$ ， $B (1, - a)$ 两点的直线倾斜角为 $120 °$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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4. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左焦点 $F$ 到其中一条渐近线的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点 $A (2, 4)$ ，经直线 $x + y = 0$ 反射后经过点 $B (4, 2)$ ，则入射光线所在直线方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y = 0$ C、 $2 x + y = 0$ D、 $2 x - y = 0$

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6. 如图所示，已知直四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A^{'} = 1$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $C^{'} D^{'}$ ， $C C^{'}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $G E$ ， $A^{'} F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{14}$

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7. 已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的一个公共点 $P$ 恰在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ ，直线 $l : y = a x + 1$ ，点 $M$ 、 $N$ 为圆 $C$ 上的两个动点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P N = 120 °$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{21}{20}$ D、 $\frac{20}{21}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分）

9. 直线 $l$ 的方向向量是 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则平面 $α$ 的法向量可以是（）

A、 $\vec{n} = (1, 2, 0)$ B、 $\vec{n} = (- 2, - 4, 0)$ C、 $\vec{n} = (2, - 1, 0)$ D、 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$

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10. 已知圆 $C : {(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 4$ ，过点 $P (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为圆 $C$ 上一动点，则下列选项正确的是（）

A、 $k = - 1$ 时，直线 $l$ 被圆C截得的弦长最长 B、 $k = \sqrt{2}$ 时，直线 $l$ 被圆C截得的弦长最短 C、 $|P Q|$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ D、三角形 $A B C$ 面积的最大值为2

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11. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ ，以下说法正确的有（）

A、以 $F$ 为圆心， $\frac{p}{2}$ 为半径的圆与抛物线仅有1个交点 B、以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 C、当 $A B ⊥ x$ 轴时， $|A B|$ 取到最小值 $p$ D、若点 $M$ 为抛物线准线与 $x$ 轴交点，则一定有 $∠ A M F = ∠ B M F$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 如下图所示平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则体对角线 $\vec{A C_{1}} =$ （用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示）.

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13. 若圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $N : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 有公共点，则 $r$ 的最小值为.

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14. 已知 $O$ 为坐标原点， $B (0, 3)$ ，且动点 $P (x, y)$ 在双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右支上，动点 $Q (m, n)$ 满足 $| Q O | = 2 | Q B |$ ，则 $\sqrt{{(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 4 x + 4}$ 的最小值为.

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四、简答题（本大题共5小题，共77分.简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知点 $A (3, 0)$ ， $B (2, 1)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$

(1)、求过线段 $A B$ 中点 $M$ ，且与 $A B$ 垂直的直线 $l$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程.

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16. 已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其中离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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17. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ， $M$ 是线段 $A B$ 上一点，且 $\frac{B M}{A M} = t$ .

(1)、 $t = 1$ 时，求证： $C_{1} M //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、 $t = 2$ 时，若 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影为 $△ A B D$ 的重心，且 $A_{1} D = \frac{2}{3} \sqrt{10}$ ，求平面 $A_{1} D_{1} M$ 与平面 $M B C$ 夹角的余弦值.

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18. 已知以动点 $P (x, y)$ 为圆心的圆 $T$ 过点 $(1, 0)$ ，且圆 $T$ 与直线 $x = - 1$ 相切，若动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与轨迹 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，已知 $A (1, 2)$ 且 $A M ⊥ A N$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点 $E$ ，并求出 $E$ 点坐标；

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19. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{μ} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若平面 $α$ 以 $\vec{μ}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，一般式方程可表示为 $a x + b y + c z + d = 0$ .

(1)、若平面 $α_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (0, 3, - 1)$ ，求直线 $l$ 与平面 $α_{1}$ 所角的正弦值；

(2)、已知集合 $P = {(x, y, x) | | x | + | y | + | z | \leq 3}$ ，记集合 $P$ 中所有点构成的几何体体积为 $V$ ，集合 $Q = {(x, y, x) | | x | + | y | \leq 3, | y | + | z | \leq 3, | z | + | x | \leq 3}$ ，记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体为 $W$ ，求 $V$ 的值及几何体 $W$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.

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