浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．

1. 下列直线中，倾斜角最大的是（）

A、 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ B、 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ C、 $x + y + 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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2. 已知点 $A (3, 2, - 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, 4, 3)$ ，且四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(- 6, 5, 4)$ B、 $(3, - 2, 7)$ C、 $(- 1, 2, 6)$ D、 $(- 6, 1, - 3)$

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3. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D_{1} E} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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4. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为 $40 cm$ ，最大直径为 $60 cm$ ，双曲线的离心率为 $\sqrt{6}$ ，则该花瓶的高为（）

A、 $90 cm$ B、 $100 cm$ C、 $110 cm$ D、 $120 cm$

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5. 若直线 $2 x + (2 a −5) y +2=0$ 与直线 $b x +2 y −1=0$ 互相垂直，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、5 D、 $\sqrt{5}$

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6. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 在 $C$ 上， $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{2} B}, \vec{F_{1} A} = \frac{2}{3} \vec{F_{1} B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 9$ 与 $C$ 的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \sqrt{10}]$ C、 $(0, \frac{3}{2}]$ D、 $(0, \frac{5}{2}]$

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8. 已知曲线 $E : x |x| + y |y| = 1$ ，则下列结论中错误的是（）

A、曲线 $E$ 与直线 $y = - x$ 无公共点 B、曲线 $E$ 关于直线 $y = x$ 对称 C、曲线 $E$ 与圆 ${(x + \sqrt{2})}^{2} + {(y + \sqrt{2})}^{2} = 9$ 有三个公共点 D、曲线 $E$ 上的点到直线 $y = - x$ 的最大距离是 $\sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{e_{1}} = （ t, 2 t, 2), \vec{e_{2}} = (2 t - 2, - t, - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{e_{1}} ⊥ \vec{e_{2}}$ ，则 $t = - 1$ B、若 $\vec{e_{1}} / / \vec{e_{2}}$ ，则 $t = \frac{4}{5}$ C、 $|\vec{e_{1}}|$ 的最大值2 D、 $< \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}} >$ 为钝角，则 $t > - 1$

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10. 如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $B B_{1} P ⊥$ 平面 $A B C D$ B、 $B P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $P$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A A_{1}$ 到平面 $B B_{1} P$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、若直线 $B_{1} P$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，则 $D_{1} P = \frac{1}{2}$

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11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，到两定点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0)$ 距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹 $C$ 是双纽线．若 $M (3, 0)$ 是曲线 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 上有且仅有1个点 $P$ 满足 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ B、曲线 $C$ 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、若直线 $y = k x$ 与曲线 $C$ 只有一个交点，则实数 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

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三、非选择题部分

12. 点 $M (1, 0)$ 到直线 $y = k x + 2$ 的距离最大值是．

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13. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $P A = A B = B C = 6$ ，则向量 $\vec{P C}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（用向量 $\vec{B C}$ 来表示）.

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14. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与它的渐近线以及直线 $y = \pm 4 \sqrt{2}$ 所围成的图形，将此图形绕 $y$ 轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为．

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四、解答题：本题共5神墙小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知直线 $l_{1} : x + y + 2 = 0, l_{2} : x + y = 0$ ，直线l过点 $(10, - 4)$ 且与 $l_{1}$ 垂直.

(1)、求直线l的方程；

(2)、设l分别与 $l_{1}, l_{2}$ 交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程.

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的菱形， $A B = B C = \sqrt{13}$ ，点 $D$ 为棱 $A C$ 上动点（不与 $A$ 、 $C$ 重合），平面 $B_{1} B D$ 与棱 $A_{1} C_{1}$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $B B_{1} / /$ $D E$ ；

(2)、已知 $B A_{1} = \sqrt{21}, \frac{A D}{A C} = \frac{3}{4}, ∠ A_{1} A C = 60 °$ ，求直线 $A B$ 与平面 $B_{1} B D E$ 所成角的正弦值．

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17. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点 $B (- 2, 0)$ ，且与双曲线C交于E，F两点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B C D = ∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 C D = 2 B C = 4 \sqrt{2}$ ， M是棱PC上的点，且 $\vec{P M} = λ \vec{P C}$ ， $0 \leq λ \leq 1$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面PAD；

(2)、设二面角 $M - B D - C$ 的大小为 $θ$ ，若 $\cos θ = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，求 $λ$ 的值.

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19. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A$ 为椭圆短轴的上端点， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 点的任一点，若 $P$ 点到 $A$ 点距离的最大值仅在 $P$ 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 $b = 1$ ．

(1)、若 $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，判断椭圆 $Γ$ 是否为“圆椭圆”；

(2)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，且 $a$ 取最大值， $Q$ 为 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点， $Q$ 也异于 $A$ 点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点，试问以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

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