浙江省嘉兴八校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

试卷更新日期：2024-11-16 类型：期中考试

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一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知直线过 $A (0, - 1)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，则该直线的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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2. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $m x + 3 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m$ 为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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3. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点， $P$ 为椭圆上一点，若 $|P F_{1}| = 2$ ，则 $|P F_{2}|$ 为（）

A、1 B、4 C、6 D、7

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4. 已知 $\vec{m} = (- 2, t, 5)$ ， $\vec{n} = (3, - 2, t)$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，且 $α ⊥ β$ ，则t的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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5. 经过点 $M (1, 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 的切线，则切线方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $2 x - y - 5 = 0$ C、 $x + 2 y - 5 = 0$ D、 $x - 2 y - 5 = 0$

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6. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，已知 $E$ 是 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\vec{O F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$

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7. 已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2 a)}^{2} + y^{2} = 9$ 有两条公切线，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, + \infty)$ D、 $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

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8. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ， $|F_{1} A| = 2 |F_{2} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．

9. 已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$ B、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{1} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ C、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1, - \sqrt{3})$ D、若直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$

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11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点 $A (x, y)$ 与点 $B (a, b)$ 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 5} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ ，下列结论正确的是（）

A、方程 $f (x) = 5$ 无解 B、方程 $f (x) = 6$ 有两个解 C、 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $6 \sqrt{5}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 直线 $2 x + 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角为．

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13. 点 $N$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 上， $F$ 是椭圆的一个焦点， $M$ 为 $N F$ 的中点，若 $|O M| = 4$ ，则 $|N F| =$ ．

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14. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A D, B B_{1}$ 的中点. 点 $P$ 为正方体表面上的动点，满足 $A_{1} P ⊥ E F$ . 给出下列四个结论：
①线段 $A_{1} P$ 长度的最大值为 $2 \sqrt{3}$ ；
②存在点 $P$ ，使得 $D P // E F$ ；
③存在点 $P$ ，使得 $B_{1} P = D P$ ；
④ $△ E P F$ 是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知空间三点 $A (- 2, 0, 1)$ ， $B (- 1, 0, 1)$ ， $C (- 3, 1, 2)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b})$ 与 $(\vec{a} - k \vec{b})$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值.

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16. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + 3 y + 5 = 0$ ， $l_{2}$ 经过点 $M (3, 1)$ ．

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离；

(3)、若 $l_{2}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|M A| \cdot |M B|$ 的最小值．

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17. 已知点 $P (2, \frac{3}{2})$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ ．

(1)、求圆 $C$ 过点 $P$ 的最短弦所在的直线方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为原点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $a$ 的值．

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 中点， $N$ 是 $A C$ 中点．

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、证明：直线 $M N ⊥ B C$ ；

(3)、求平面 $M N A$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的余弦值．

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $H (3, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于异于点 $H$ 的 $M$ ， $N$ 两点，且 $H M$ ， $H N$ 均不与 $x$ 轴垂直．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{10}$ ， $P$ 为椭圆的上顶点，求 $△ P M N$ 的面积；

(3)、记直线 $H M$ ， $H N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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