浙江省杭州市钱塘联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-11-14 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 某学校有男生700名、女学生400名.为了解男女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）

A、抽签法 B、随机数法 C、系统抽样法 D、分层抽样法

查看试题解析
2. 若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ ，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A、 $\vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{c}$ D、 $\vec{b}, \vec{a}, \vec{a} + \vec{b}$

查看试题解析
3. 在空间直角坐标系中，已知点 $P (x, y, z)$ 下列叙述中正确的是（）
①点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $P_{1} (x, - y, z)$
②点 $P$ 关于 $y O z$ 平面的对称点是 $P_{2} (- x, y, z)$
③点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $P_{3} (x, - y, z)$
④点 $P$ 关于原点的对称点是 $P_{4} (- x, - y, - z)$

A、①② B、①③ C、②④ D、②③

查看试题解析
4. 已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ ，满足： $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}$ ， $x_{10}$ 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）

A、中位数不变 B、平均数不变 C、若 $x_{1} = 1$ ，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ 的第80百分位数为15 D、方差变小

查看试题解析
5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A、α∥β且l∥α B、α⊥β且l⊥β C、α与β相交，且交线垂直于l D、α与β相交，且交线平行于l

查看试题解析
6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2$ ，若直线 $y = - \sqrt{3} (x + 1)$ 与椭圆交于点 $M$ ，满足 $∠ M F_{1} F_{2} = 2 ∠ M F_{2} F_{1}$ ，则离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
7. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，圆 $O_{1}$ 为以 $A B$ 为直径的 $△ A B C$ 的外接圆，若圆 $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $A B = O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $80 π$ B、 $64 π$ C、 $36 π$ D、 $32 π$

查看试题解析
8. 已知直线 $l_{1} : x + m y - 3 m - 1 = 0$ 与 $l_{2} : m x - y - 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $M$ ，线段 $A B$ 是圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 的一条动弦，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值为（）

A、 $16 + 4 \sqrt{2}$ B、 $6 - 4 \sqrt{2}$ C、 $5 + 6 \sqrt{3}$ D、 $20 \sqrt{5} - 1$

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4 m} + \frac{y^{2}}{6 - 4 m} = 1$ ，则（）

A、椭圆的长轴长为 $4 \sqrt{m}$ B、当 $m = 1$ 时，椭圆的焦点在 $x$ 轴上 C、椭圆的焦距可能为6 D、椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值

查看试题解析
10. 某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）

A、甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 $\frac{1}{2}$ B、乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 $\frac{1}{6}$ C、丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{1}{10}$ D、丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{2}{7}$

查看试题解析
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 就是其中之一，下列几个结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、曲线 $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D、曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知点 $M (1, - \sqrt{3})$ ， $N (- \sqrt{3}, 1)$ ，则直线 $M N$ 的倾斜角为.

查看试题解析
13. 已知直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B C$ 面积为2，则 $m$ 值是.

查看试题解析
14. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， E为 $A B$ 边上的点，现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A^{'} D E$ ，使得点 $A^{'}$ 在平面 $E B C D$ 上的射影在 $C D$ 上，且直线 $A^{'} D$ 与平面 $E B C D$ 所成的角为 $30 °$ ，则线段 $A E$ 的长为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知直线 $l : x - 2 y - 3 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $M (3, - 1)$ ，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} ∥ l$ ，且直线 $l_{2}$ 与直线 $l$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

查看试题解析
16. 如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A^{'} = 3, ∠ B A D = 90^{\circ},$ $∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60^{\circ} .$

(1)、求证： $B D ⊥ A C^{'}$ ；

(2)、求 $A C^{'}$ 的长

查看试题解析
17. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，且 $|P A| = 3 |P B|$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过 $C (3, 2)$ 作（1）的切线，求切线方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 在（1）的轨迹上运动，另有定点 $D (5, 1)$ ，求 $P D$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 将菱形 $A B C D$ 绕直线 $A D$ 旋转到 $A E F D$ 的位置，使得二面角 $E - A D - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，连接 $C F$ ， $B E$ ，得到几何体 $A B E - D C F$ ，已知 $A B = 4$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A F$ ， $B D$ 上的动点，且 $\frac{A M}{A F} = \frac{B N}{B D} = λ (0 < λ < 1)$ .

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、证明： $M N / /$ 平面 $C D F$ ；

(3)、当 $M N$ 的长度最小时，求直线 $M N$ 与平面 $M B C$ 所成角.

查看试题解析
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 上的任一点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，动直线 $l : x + m y + n = 0$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $G$ 关于 $O$ 的对称点是 $H$ ，以 $H$ 为圆心作圆与 $y$ 轴相切，设 $D$ 为 $A B$ 的中点，过 $D$ 作圆的两条切线，切点分别为 $E$ ， $F$ ，求 $∠ E D F$ 的最小值.

查看试题解析