广东省中山市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次统测数学试卷

试卷更新日期：2024-12-02 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）

1. 若集合 $A = {x ∣ x = 4 k - 3, k \in N}, B = {x ∣ (x + 3) (x - 9) \leq 0}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i^{7}) = - 3 i + 4$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $α, β$ 是两个不同的平面， $l, m$ 是两条直线，且 $m \subset α, l ⊥ α$ .则“ $l ⊥ β$ ”是“ $m / / β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a = 2 \sin \frac{π}{12}$ ， $b^{3} = 7$ ， $3^{c} = 10$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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5. 对于任意非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b})$ $//$ $\vec{c}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b})$ $//$ $\vec{c}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$

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6. 已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (- x)$ ，当 $x \in (1, 2]$ 时 $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $0$

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7. $\frac{1 + \tan 190^{°}}{1 - \tan 10^{°}} - \frac{2 \cos 70^{°}}{\sin 40^{°}} =$ （）

A、 $\tan 20^{°}$ B、 $\tan 70^{°}$ C、 $- \tan 10^{°}$ D、 $- \tan 40^{°}$

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8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个，每个砝码均有编号）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为 $m$ ，下列各式的展开式中 $x^{9}$ 的系数为 $m$ 的选项是（）

A、 $(1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{3}) \dots (1 + x^{10})$ B、 $(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) \dots (1 + 10 x)$ C、 ${(1 + x)}^{2} {(1 + x^{2})}^{2} {(1 + x^{3})}^{2} {(1 + x^{4})}^{2} \dots {(1 + x^{10})}^{2}$ D、 ${(1 + x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2} {(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{2} \dots {(1 + x + x^{2} + \dots + x^{10})}^{2}$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）

9. 已知 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (π + x) = f (x)$ B、 $f (- x) = - f (x)$ C、 $\forall x \in (0, \frac{π}{4})$ ， $f (x) > 1$ D、 $\exists x_{0} \in (0, \frac{π}{4})$ ， $f^{'} (x_{0}) = 0$

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10. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量 $X_{n} = \{\begin{matrix} 1, & 第 n 次投出正面, \\ - 1, & 第 n 次投出反面, \end{matrix} (n = 1, 2, 3)$ ．记A表示事件“ $X_{1} + X_{2} = 0$ ”， $B$ 表示事件“ $X_{2} = 1$ ”， $C$ 表示事件“ $X_{1} + X_{2} + X_{3} = - 1$ ”，则（）

A、 $B$ 和 $C$ 互为对立事件 B、事件 $A$ 和 $C$ 不互斥 C、事件 $A$ 和 $B$ 相互独立 D、事件 $B$ 和 $C$ 相互独立

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11. 已知平面 $α //$ 平面 $β$ ，且均与球 $O$ 相交，得截面圆 $O_{1}$ 与截面圆 $O_{2}, O$ 为线段 $O_{1} O_{2}$ 的中点，且 $O_{1} O_{2} = 2 \sqrt{3}$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 分别为圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 的直径，则（）

A、若 $△ A B C$ 为等边三角形，则球的体积为 $18 π$ B、若 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C$ ，则 $O P$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、若 $A B ⊥ C D$ ，且 $A B = 2 \sqrt{6}$ ，则 $A C ⊥ B D$ D、若 $A B ⊥ C D$ ，且 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $60 °$ ，则球 $O$ 的表面积为 $20 π$ 或 $84 π$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 已知向量 $\vec{a} = (t - 2 ， 3), \vec{b} = (3 ， - 1)$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不能作为平面向量的一组基底，则 $|\vec{a}| =$ ．

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13. 已知某人每次投篮的命中率为 $p (0 < p < 1)$ ，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则 $\frac{4 D (X) - 3}{2 E (X)}$ 的最大值为．

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14. 已知“ $⟨x⟩$ ”表示小于x的最大整数，例如 $⟨5⟩ = 4$ ， $⟨- 2.1⟩ = - 3$ .若 $sin ω x = ⟨x⟩ (ω > 0)$ 恰好有四个解，那么 $ω$ 的范围是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c = 2 b$ ， $\frac{\sin A}{\sin C} = 3 \cos C$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ，求 $A B$ 边上的高．

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16. 如图，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 水平放置的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ，侧棱长为 $\sqrt{2}, P$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点.

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得平面 $A P C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{33}}{33}$ ？若存在，求出点 $P$ ；若不存在，请说明理由.

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17. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．该公司统计了七个部门测试的平均成绩 $x$ （满分100分）与绩效等级优秀率 $y$ ，如下表所示：
$x$
32
41
54
68
74
80
92
$y$
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用 $y = λ e^{c x}$ 作为回归方程．令 $z = ln y$ ，经计算得 $\bar{z} = - 0.642$ ， $\frac{\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i} - 7 \bar{x} \bar{z}}{\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} - 7 {\bar{x}}^{2}} \approx 0.02$

(1)、已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；

(2)、根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 $x ～ N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．经计算 $s \approx 20$ ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 $0.78$ 的概率．
参考公式与数据：
① $ln 0.15 \approx - 1.9, e^{1.2} \approx 3.32, ln 5.2 \approx 1.66$ ．
②线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
③若随机变量 $X ～ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = k \ln x + \frac{1}{e^{x}} (k \in R)$ ．

(1)、已知函数 $f (x)$ 在点 $A (1, f (1))$ 处的切线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求 $k$ 的值．

(2)、若函数 $y = f (x)$ 为增函数，求 $k$ 的取值范围；

(3)、已知 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．证明： $\frac{e}{e^{x_{2}}} - \frac{e}{e^{x_{1}}} > 1 - \frac{x_{2}}{x_{1}}$ ；

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19. 给定正整数 $N \geq 3$ ，已知项数为 $m$ 且无重复项的数对序列 $A : (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{m}, y_{m})$ 满足如下三个性质：
① $x_{i}, y_{i} \in \{1, 2, \dots, N\}$ ，且 $x_{i} \neq y_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ ；
② $x_{i + 1} = y_{i} (i = 1, 2, \dots, m - 1)$ ；
③ $(p, q)$ 与 $(q, p)$ 不同时在数对序列A中．

(1)、当 $N = 3, m = 3$ 时，写出所有满足 $x_{1} = 1$ 的数对序列A；

(2)、当 $N = 6$ 时，证明： $m \leq 13$ ；

(3)、当 $N$ 为奇数时，记 $m$ 的最大值为 $T (N)$ ，求 $T (N)$ ．

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$x$	32	41	54	68	74	80	92
$y$	0.28	0.34	0.44	0.58	0.66	0.74	0.94