湖南省永州市新田县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-29 类型：期中考试

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1. 已知复数 $z_{1} = 1 - i, z_{2} = 2 - i$ ，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {(x, y) | y = | x |}, B = \{(x, y) | y = \frac{1}{| x |}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${(- 1, 1), (1, 1)}$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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3. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{x + 1} - a$ ．若 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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5. 将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）

A、20种 B、40种 C、80种 D、160种

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6. 将函数 $g (x) = \cos (ω x + \frac{π}{12}) (ω \in N^{*})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标变为原来的2倍，得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ， $O$ 为坐标原点，若在 $C$ 的右支上存在关于 $x$ 轴对称的两点 $P, Q$ ，使得 $△ P F_{1} Q$ 为正三角形，且 $O Q ⊥ F_{1} P$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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8. 已知 $x_{0}$ 为函数 $f (x) = x^{2} e^{x} + e^{2} \ln x - 2 e^{2}$ 的零点，则 $x_{0} + \ln x_{0} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）

9. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c}) = \vec{0}$ ，则 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ C、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、向量 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 垂直

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10. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $A B = 4$ ， M，N，D，Q分别为棱 $A B, A C, B_{1} C_{1}, A A_{1}$ 的中点， $D Q ⊥ Q M$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $B_{1} C_{1} / /$ 平面 $Q M N$ B、 $A A_{1} = \sqrt{6}$ C、点Q到平面 $D M N$ 的距离为 $\sqrt{6}$ D、三棱锥 $D - Q M N$ 的外接球表面积为 $\frac{131 π}{18}$

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11. 已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点， $\cos 〈 \vec{F A}, \vec{F B} 〉 = - 1$ ，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（）

A、若 $| A F | + | B F | = 4$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = - 1$ B、直线PN的倾斜角 $α \geq \frac{π}{4}$ C、若 $k_{1} + k_{2} = 2$ ，则直线AB的方程为 $x - y + 1 = 0$ D、 $| M F |$ 的最小值为2

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 已知 $\sin α - \sqrt{3} \cos α = \frac{1}{2}, \cos (α + \frac{π}{6}) =$ ．

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13. 已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W（kg）作为样本，则样本的方差为．

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14. “四进制”是一种以 $4$ 为基数的计数系统，使用数字 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ 来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以 $4$ 的相应次方（从 $0$ 开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数 $013$ 转换为十进制数为 $0 \times 4^{2} + 1 \times 4^{1} + 3 \times 4^{0} = 7$ ；四进制数 $0033$ 转换为十进制数为 $0 \times 4^{3} + 0 \times 4^{2} + 3 \times 4^{1} + 3 \times 4^{0} = 15$ ；四进制数 $1230$ 转换为十进制数为 $1 \times 4^{3} + 2 \times 4^{2} + 3 \times 4^{1} + 0 \times 4^{0} = 108$ ；现将所有由 $1$ ， $2$ ， $3$ 组成的 $4$ 位（如： $1231$ ， $3211$ ）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被 $3$ 整除的概率为．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $A_{1} A ⊥$ 平面ABC， $A B = 2 A_{1} A = 2 A_{1} C_{1} = 4$ ， M，N分别为棱 $A B, B_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $B_{1} B ⊥$ 平面 $M C N$ ；

(2)、求直线 $C_{1} C$ 与平面 $M C N$ 所成的角的正弦值.

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16. 已知 $b > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} - x - (x - 1) ln (b x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线过点 $(0, - 1)$ .

(1)、求实数b的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若对 $\forall x \geq 1, f (x) \geq a (x - 1)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1, C D = A D = 2, B C = 3, ∠ B A D + ∠ B C D = π$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ ；

(2)、 $P$ 为边 $B C$ 上一点，且 $△ P C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B P$ 的外接圆半径．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在椭圆上，且直线 $P F_{1}$ 与 $P F_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{2}{3}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m (k > 0, m > 0)$ 与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；
（ⅱ）若点B与点 $F_{1}$ 重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求 $\frac{| M N |}{| Q F_{1} |}$ 的值．

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19. 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学.20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和；

(2)、求 $a_{2^{n}} (n \in N^{*})$ 的表达式和 $a_{31 \times 37}$ 的值；

(3)、记 $b_{n} = \frac{(n^{2} + n)}{a_{2^{n}}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，证明 $S_{n} < 16$ ．

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