广东省揭阳市部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-02-26 类型：期中考试

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一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 2, 4), \vec{b} = (1, λ, μ)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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2. 某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取 $n$ 人进行调查研究.若抽到男生20人，则 $n =$ （）

A、60 B、45 C、35 D、25

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3. 已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{20}$ 的极差为4，方差为2，则数据 $3 x_{1} + 5$ ， $3 x_{2} + 5$ ， …， $3 x_{20} + 5$ 的极差和方差分别是（）

A、4，2 B、4，18 C、12，2 D、12，18

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4. 若两平行直线 $l_{1} : a x + 8 y = 0$ 与 $l_{2} : 3 x + 4 y + b = 0$ 之间的距离是 $1$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 4$ 或11 B、 $- 4$ 或16 C、1或11 D、1或16

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5. 若 $M$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则点 $M$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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6. 已知点 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点，若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 到 $F$ 的距离为 $4$ ，则点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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7. 设点P为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} =$ 1上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为C的左、右焦点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ， $|P F_{2}| = 3 |P F_{1}|$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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二、多选题（每小题6分，共18分，错选不选均不得分，少选得部分分）

9. 下列结论正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(1, 2, 2)$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ 则P，A，B，C四点共面 C、已知 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}}$ 也是空间的一组基底 D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3),$ 平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则直线 $l ⊥ α$

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10. 设直线 $l_{1}$ ： $a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 2) y + a = 0$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a = 3$ 或-1 B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ C、 $l_{2}$ 恒过定点 $(- 2, - 1)$ D、 $l_{2}$ 被圆C截得的弦长最小值为4

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11. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若直线 $l$ 为 $C$ 的准线，则（）

A、 $p = 4$ B、 $|M N| = \frac{16}{3}$ C、以 $M N$ 为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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三、填空题（每小题5分，共15分）

12. 已知随机事件A，B，C， $A$ 与 $B$ 相互独立， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = 0.6$ ， $P (C) = 0.3$ ，则 $P (A B) =$ .

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13. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 1, 1, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{b}| =$ .

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14. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线左支交于A，B两点，且 $|A F_{1}| = 3 |B F_{1}|$ ，以 $O$ 为圆心， $O F_{2}$ 为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分）

15. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为 $[1, 1.5)$ ， $[1.5, 2)$ ， $[2, 2.5)$ ， $[2.5, 3)$ ， $[3, 3.5)$ ， $[3.5, 4]$ 六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在 $[1, 4]$ 内），得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；

(2)、按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在 $[2.5, 3)$ ， $[3.5, 4]$ 这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.

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五、

16. 已知圆 $C$ 经过坐标原点，且圆心为 $(2, 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l : 3 x + 4 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求弦长 $|A B|$ 的值；

(3)、过点 $P (4, - 4)$ 引圆 $C$ 的切线，求切线的方程．

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17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ． $E, F$ 分别是线段 $A B, B C$ 上的点，且 $E B = F B = 1$ .

(1)、求直线 $E C_{1}$ 与 $F D_{1}$ 所成角α的余弦值；

(2)、求二面角 $C - D E - C_{1}$ 的余弦值.

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18. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 4 \sqrt{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = 2 x - 1$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $F$ 是 $C$ 的焦点，求 $△ F M N$ 的周长.

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $P (0, 1)$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于M，N两点，
①若 $\vec{N P} = 3 \vec{P M}$ ，求直线 $l$ 的方程；
②若点 $A (1, 1)$ ，求 $△ A M N$ 的面积的取值范围．

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