广东省清远市2024-2025学年高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-20 类型：期中考试

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、0

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2. 直线 $3 x + \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, 1, m), \vec{b} = (1, - 1, 0), \vec{c} = (- 1, 2, n)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 共面，则 $m + n =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 已知直线 $l_{1} : x - y + 3 = 0, l_{0} : x - y - 1 = 0$ ，若 $l_{1}$ 关于 $l_{0}$ 对称的直线为 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2}$ 的方程是（）

A、 $x - y - 3 = 0$ B、 $x - y + 5 = 0$ C、 $x - y + 3 = 0$ D、 $x - y - 5 = 0$

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5. 已知过点 $P (4, m) (m \neq 0)$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则直线 $A B$ 必过定点（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, \frac{1}{2})$

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6. 若直线 $a x + b y - 1 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）平分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、2 B、5 C、 $3+2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 在平行六面体（底面是平行四边形的棱柱） $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，有 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D =$ $∠ B A D = 60^{°}, A B = A D = \sqrt{2}, A C_{1} = \sqrt{22}$ ，则 $A A_{1} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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8. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 7 = 0$ 和圆 $C_{2} : {(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 12$ 交于两点，点 $P$ 在圆 $C_{1}$ 上运动，点 $Q$ 在圆 $C_{2}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 关于直线 $8 x + 6 y - 5 = 0$ 对称 B、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{23}$ C、 $|P Q|$ 的取值范围为 $[0, 5 + 2 \sqrt{3}]$ D、若 $M$ 为直线 $x - y + 8 = 0$ 上的动点，则 $|P M| + |M Q|$ 的最小值为 $\sqrt{109} - 4 \sqrt{3}$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 甲、乙两人各投篮一次，若两人投中的概率都是0.6，且两人是否投中彼此互不影响，则下列判断正确的是（）

A、两人都投中的概率是0.36 B、恰有一人投中的概率是0.48 C、至少有一人投中的概率是0.86 D、至多有一人投中的概率是0.64

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10. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 B、当 $r = 2$ 时， $y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的一条公切线 C、当 $r = 4$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有一条公切线是 $7 x - 24 y - 25 = 0$ D、当 $r = 5$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程为 $6 x + 8 y - 1 = 0$

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11. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 所在平面与正方形 $A B E F$ 在平面互相垂直，动点 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $\exists a \in (0, \sqrt{2})$ ，使 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{C E}$ B、线段 $M N$ 存在最小值，最小值为 $\frac{2}{3}$ C、直线 $M N$ 与平面 $A B E F$ 所成的角恒为45° D、 $\forall a \in (0, \sqrt{2})$ ，都存在过 $M N$ 且与平面 $B E C$ 平行的平面

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三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知A，B，C三点共线，则对空间任一点 $O$ ，存在三个不全为0的实数a，b，c使 $a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C} = \vec{0}$ ，那么 $a + b + c$ 的值为.

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13. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： y = x + b$ .若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ 的距离等于1，则 $b$ 的值为.

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14. 已知直线 $y = k x - 2$ 与曲线 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = | x | - 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线 $4 x - 3 y + 5 = 0$ 垂直；
②直线的一个方向向量为 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ；
③与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 平行．
已知直线l过点 $P (1, - 2)$ ， _________________．

(1)、求直线l的一般方程；

(2)、若直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于P，Q，求弦长 $|P Q|$ ．

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16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， $A D ⊥ A B, A B / / D C, P A ⊥$ 底面ABCD，点 $E$ 为棱PC的中点， $A D = D C = A P = 2 A B = 2$ .

(1)、证明： $B E / /$ 平面PAD；

(2)、求点E到直线CD的距离；

(3)、求直线BE与平面PDC所成角的余弦值.

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17. 甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.已知每次甲回答正确的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙回答正确的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙回答正确的概率为 $\frac{1}{2}$ ，三个人回答每个问题相互独立.

(1)、求一轮中三人全部回答正确的概率；

(2)、记 $P_{n}$ 为甲在第 $n$ 轮胜出的概率， $Q_{n}$ 为乙在第 $n$ 轮胜出的概率，求 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ ，并比较 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ 的大小.

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, △ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B$ ，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .
（i）证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；
（ii）求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

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19. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l_{1} : y = x + b$ 与圆 $O$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作直线 $l_{2} : x = m (m \in R)$ 的垂线，垂足分别为 $C, D (C, D$ 分别异于 $A, B)$ .

(1)、求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $m = - 4$ ，用含 $b$ 的式子表示四边形 $A B D C$ 的面积；

(3)、当 $b = m - 1$ 时，若直线 $A D$ 和直线 $B C$ 交于点 $E$ ，证明点 $E$ 在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程.

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