人教版（2024）八（上）数学第十四章单元质量检测培优卷

试卷更新日期：2025-08-26 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（）

A、2 B、2或 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$ D、2或 $\frac{7}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$

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2. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1, 2)$ ， $B (4, 5)$ ， $C (5, 2)$ ，如果存在点 $E$ ，使 $△ A C E$ 和 $△ A C B$ 全等，则下列选项中不符合题意的点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(2, 5)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(4, - 1)$ D、 $(2, - 1)$

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3. 已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝10，AC＝6，则AD的取值范围是（）

A、4＜AD＜16 B、2＜AD＜8 C、4＜AD＜10 D、8≤AD≤16

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4. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 为 $y$ 轴正半轴上的一点，点 $B$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴的负半轴和正半轴上， $A B = A C$ ，点 $D$ 为第二象限内一动点，点 $E$ 在 $B D$ 的延长线上， $C D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，且 $∠ B D C = ∠ B A C$ ．下列结论：① $∠ A B D = ∠ A C D$ ；② $B A$ 平分 $∠ C B E$ ；③ $A D$ 平分 $∠ C D E$ ；④若 $D C = D A + D B$ ，则 $∠ B A C = 60 °$ ．其中结论正确的有( )

A、①③ B、①②③ C、③④ D、①③④

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5. 如图所示，在△ABC中，AB＝8，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于F ，已知CF＝10，则AC的长为（）

A、12 B、11 C、10 D、9

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6. 如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（）

A、90°﹣ $\frac{1}{2}$ α B、90°+α C、90°﹣α D、90°+ $\frac{1}{2}$ α

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7. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°+ $\frac{1}{2}$ ∠C；

②AE+BF＝EF；

③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；

④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S_△CEF＝ab．

其中正确的是（）

A、①② B、③④ C、①②④ D、①③④

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8. 如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数(    )
①BP平分∠ABC；                ②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠CAB=2∠CPB；                 $④ S_{P A C} = S_{M A P} + S_{N C P} .$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点 $E$ 在 $A C$ 上，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，延长 $C B$ 至 $G$ ，使 $B G = 2 F C$ ，连接 $E G$ 交 $A B$ 于点 $H$ ， $E P$ 平分 $∠ G E C$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $P$ ，连接 $P H$ ， $P B$ ， $P G$ ，若 $∠ C = ∠ E G C + ∠ B A C$ ．有下列结论：① $∠ A P E = \frac{1}{2} ∠ A H E$ ；② $P E = H E$ ；③ $A B = G E$ ；④ $S_{△ P A B} = S_{△ P G E}$ ．其中正确的是（　　）

A、①②③ B、①②③④ C、①② D、①③④

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10. 数学课上，老师给出了如下问题：
如图1， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，求证： $A B + C D = A D$ ．
小明是这样想的：要证明 $A B + C D = A D$ ，只需要在 $A D$ 上找到一点 $F$ ，再试图说明 $A F = A B$ ， $D F = C D$ 即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ 交 $A D$ 于点 $F$ ；
②作 $E F = E C$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ；
③在 $A D$ 上取一点 $F$ ，使得 $D F = D C$ ，连接 $E F$ ；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“ $A B + C D = A D$ ”的有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11. 在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝︒

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12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $D$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 边上一点， $A B = A D$ ， $∠ E D C = ∠ D B C + 135 °$ ， $A B = a$ ， $A C = b$ ， $B C = c$ ，则 $E B$ 的长．（用含 $a$ ， $b$ ， $c$ 的式子表示）

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的平分线 $A E ， B F$ 相交于点 $O ， A E$ 交 $B C$ 于 $E ， B F$ 交 $A C$ 于F，过点O作 $O D ⊥ B C$ 于D，下列三个结论：① $∠ A O B = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ C$ ；②当 $∠ C = 60 °$ 时， $A F + B E = A B$ ；③若 $O D = a$ ， $A B + B C + C A = 2 b$ ，则 $S_{△ A B C} = 2 a b$ ．其中正确的是．（填序号）

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14. 如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC ，则∠ACB的度数为．

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15. 三个全等三角形按如图的形式摆放，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ 的度数是.

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三、解答题：本大题共8小题，共75分.

16. 如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．

(1)、求证：AC=BC；

(2)、如图2，点C的坐标为(4，0)，点E为AC上一点，且AD= DE，求BC+EC的长；

(3)、在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

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17. 如图 $1$ ：在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， $E ， F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 60 °$ ，探究图中线段 $B E$ ， $E F$ ， $F D$ 之间的数量关系．

(1)、小王同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点 $G$ ，使 $D G = B E$ ，连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）

(2)、如图 $2$ ，若在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ A D F = 180 °$ ， $E ， F$ 分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，（ $1$ ）中结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)、如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ A D C = 180 °$ ， $E ， F$ 分别是边 $B C$ 、 $C D$ 延长线上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，（ $1$ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

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18.

(1)、某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE.

(2)、组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)、数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点.

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19. 问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，求BC边上的中线的取值范围．
小华在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8，则1<AD<4．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．

(1)、请你用小华的方法证明AB+AC>2AD；

(2)、由第(1)问方法的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB，∠BDA=∠BAD，求证：AC=2AE；

(3)、如图3，在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，连接AD，点M为AD中点，连接OM，请你直接写出 $\frac{B C}{O M}$ 的值．

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20. 平面直角坐标系中，点 $A$ ， $C$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的动点， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $A (- 8, 0)$ ， $C (0, 4)$ ，求点 $B$ 的坐标；

(2)、如图 $2$ ，设 $B C$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $A D = 10$ ，求点 $B$ 的纵坐标；

(3)、如图 $3$ ，当点 $C$ 运动到原点 $O$ 时， $∠ B A O$ 的平分线交 $y$ 轴于点 $E$ ， $F (t, 0)$ 为线段 $O A$ 上一点，将 $F O$ 沿 $E F$ 翻折， $F O$ 的对应边的延长线交 $A B$ 于点 $G$ ， $H$ 为线段 $A G$ 上一点，且 $E F = E H$ ，求 $F G + H G$ 的值．（用含 $t$ 的式子表示）

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21. 【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分 $∠ M O N$ ．点A为OM上一点，过点A作 $A C ⊥ O P$ ，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明 $△ A O C ≅ △ B O C$ ，则 $A O = B O$ ， $A C = B C$ （即点C为AB的中点）．

(1)、问题探究：如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， CD平分 $∠ A C B$ ， $B E ⊥ C D$ ，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论：

(2)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点D在线段BC上，且 $∠ B D E = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ， $B E ⊥ D E$ 于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．

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22. 如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．

(1)、如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；

(2)、如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；

(3)、如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若 $\frac{B C}{B E} = \frac{4}{3}$ ，求 $\frac{A D}{C D}$ 的值是．

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23. 综合与实践，如图，已知 $∠ C O D = 90 °$ ，直线 $A B$ 与 $O C$ 交于点 $B$ ，与 $O D$ 交于点 $A$ ，射线 $O E$ 和射线 $A F$ 交于点 $G$ ．

(1)、若 $O E$ 平分 $∠ B O A ， A F$ 平分 $∠ B A D ， ∠ O B A = 36 °$ ，则 $∠ O G A =$ ；

(2)、若 $∠ G O A = \frac{1}{3} ∠ B O A ， ∠ G A D = \frac{1}{3} ∠ B A D ， ∠ O B A = 36 °$ ，则 $∠ O G A =$ ；

(3)、将（2）中“ $∠ O B A = 36 °$ ”改为“ $∠ O B A = β$ ”，其余条件不变，求 $∠ O G A$ 的度数（用含 $β$ 的代数式表示）；

(4)、若 $O E$ 将 $∠ B O A$ 分成 $1 ： 2$ 两部分， $A F$ 也将 $∠ B A D$ 分成 $1 ： 2$ 两部分， $∠ A B O = β (30 ° < β < 90 °)$ ，则 $∠ O G A$ 的度数 $=$ （用含 $β$ 的代数式表示）．

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