人教A版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

试卷更新日期：2025-08-25 类型：同步测试

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一、A级·基础巩固

1. 下列运算中正确的是（　　）

A、 $a^{2 \sqrt{2}} a^{3 \sqrt{2}}$ ＝ $a^{6 \sqrt{2}}$ B、（－a²）⁵＝（－a⁵）² C、（ $\sqrt{a}$ －2）⁰＝1 D、（－ $a^{2 \sqrt{2}}$ ）⁵＝－ $a^{10 \sqrt{2}}$

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2. 计算：3^π× ${(\frac{1}{3})}^{π}$ ＋（ $2^{2 \sqrt{2}} ）^{\sqrt{2}}$ ＋ $1^{\sqrt{5}}$ ＝（　　）

A、17 B、18 C、6 D、5

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3. 一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）10次，这时，报纸的厚度为（　　）

A、2.56厘米 B、5.12厘米 C、10.24厘米 D、20.48厘米

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4. 已知 $a^{\frac{1}{2}}$ ＋ $a^{－ \frac{1}{2}}$ ＝4，则 $\frac{a^{2} － a^{－ 2}}{a － a^{－ 1}}$ ＝（　　）

A、2 B、4 C、14 D、16

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5. 若 $\sqrt{a}$ ＋ $\frac{1}{\sqrt{a}}$ ＝3，则 $\frac{a}{a^{2} + 1}$ ＝（　　）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt[12]{(- 3 ）^{4}}$ ＝ $\sqrt[3]{－ 3}$ B、（ $a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}$ ）（－3 $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$ ）÷（ $\frac{1}{3} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}$ ）＝－9a（a＞0，b＞0） C、 $\sqrt{\sqrt[3]{9}}$ ＝ $\sqrt[3]{3}$ D、已知x²＋x^－²＝2，则x＋x^－¹＝2

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7. 求值： $4^{－ \frac{1}{2}}$ －（ $\frac{27}{8} ）^{\frac{1}{3}}$ －（π－3）⁰＝.

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8. 化简 $\frac{（ \sqrt{2} ）^{\sqrt{2}} · \sqrt{2^{\sqrt{2}}}}{\sqrt[3]{8^{\sqrt{2}}}}$ ＝.

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9. 已知x－ $\frac{1}{x}$ ＝1，其中x＞0，则 $\frac{x^{2} － x}{x － x^{\frac{1}{2}}}$ － $x^{\frac{1}{2}}$ － $\frac{x}{x + 1}$ ＝.

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10.

(1)、当x＝ $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ ， y＝2－ $\sqrt{2}$ 时，求（ $x^{\frac{2}{3}}$ － $y^{－ \frac{1}{3}}$ ）·（ $x^{\frac{4}{3}}$ ＋ $x^{\frac{2}{3}} y^{－ \frac{1}{3}}$ ＋ $y^{－ \frac{2}{3}}$ ）的值；

(2)、若a²^x＝ $\sqrt{2}$ －1，求 $\frac{a^{3 x} ＋ a^{－ 3 x}}{a^{x} ＋ a^{－ x}}$ 的值.

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二、B级·综合运用

11. 方程 $3^{\sqrt{2} x － 1}$ ＝ $\frac{1}{9}$ 的解是（　　）

A、－ $\sqrt{2}$ B、－ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知2^a＝5^b＝m ，且 $\frac{1}{a}$ ＋ $\frac{1}{b}$ ＝2，则m＝（　　）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、20 D、100

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13. 已知a^2m＋n＝2^－² ， a^m－n＝2⁸（a＞0，且a≠1），则a^4m＋n＝.

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14.

(1)、已知a²^x＝3，求 $\frac{a^{3 x} ＋ a^{－ 3 x}}{a^{x} ＋ a^{－ x}}$ 的值；

(2)、已知a＞0，b＞0，且a^b＝b^a ， b＝8a ，求a的值.

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三、C级·拓展探究

15. 若e^x ， e^y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x² ， y²的算术平均值的最小值为.

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16. 已知函数f（x）＝ $\frac{a^{x} ＋ a^{－ x}}{2}$ （a＞0，a≠1，a为常数，x∈R）.

(1)、若f（m）＝6，求f（－m）的值；

(2)、若f（1）＝3，求f（2），f $(\frac{1}{2})$ 的值.

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