第二章《实数的初步认识》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-08-24 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.

1. 下列各式正确的是（）

A、 $\sqrt{64} = \pm 8$ B、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$ C、 $\sqrt[3]{(- 7)^{3}} = 7$ D、 $\sqrt[3]{- 8} = - 2$

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2. 如果 $\sqrt[3]{23.7} = 2.872$ ， $\sqrt[3]{0.0237} = 0.2872$ ，则 $\sqrt[3]{23700} =$ （）

A、2.872 B、28.72 C、287.2 D、2872

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3. 一个正数的两个不同的平方根是 $a + 1$ 和 $a - 15$ ，则这个正数是（）

A、64 B、49 C、14 D、7

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4. 下列各数中没有平方根的是（）

A、 $(- 6)^{2}$ B、 $(- 2)^{3}$ C、0 D、0.03

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5. 某电影院1号厅正在放映电影《哪吒之魔童闹海》，甲、乙两名工作人员根据1号厅的观影人数，说法如下：
甲：“观影人数不超过90人．”
乙：“观影人数不足100人．”
已知甲的说法错误，乙的说法正确，则在1号厅的观影人数可能为（　　）

A、90 B、96 C、100 D、101

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6. 如图，面积为2的正方形 $A B C D$ 的顶点A在数轴上，且表示的数为 $- 2$ ．若 $A D = A E$ ，则数轴上点E所表示的数为（）

A、 $\sqrt{2} - 2$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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7. 有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{7}$ ， 4个；④近似数5.60所表达的准确数x的范围是5.595≤x<5.605。其中正确的个数是 ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.

8. 在下列实数： $\sqrt{3}$ ， $\frac{3}{7}$ ， $\sqrt[3]{- 27}$ ， $\frac{π}{2}$ ， $- \sqrt{\frac{9}{25}}$ ， $0.12102100210002 \dots$ （1和2之间0的个数逐次增加一个）中，无理数共有个．

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9. $\frac{25}{9}$ 的平方根是；5的算术平方根是； $1 - \sqrt{7}$ 的绝对值是．

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10. 立方根等于本身的数是．

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11. 有理数3.14159精确到千分位的近似数为．

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12. 若 $| x + y - 3 | + \sqrt{2 x - y} = 0,$ 则x-y的值为.

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13. 若关于x ， y的方程组 ${\begin{cases} x + a y + 1 = 0 \\ b x - 2 y + 1 = 0 \end{cases}$ 有无数组解，则 $\sqrt{{(a b)}^{2}}$ ＝．

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14. 现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有 $x ※ y = \sqrt{x + y} + \sqrt[3]{x y + 1}$ ，则 $7 ※ 9$ 的值为．

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15. 我们知道 $\sqrt{3}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于 $1 < \sqrt{3} < 2$ ，所以 $\sqrt{3}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{3} - 1$ 。根据以上的内容，解答下面的问题：若 $\sqrt{7}$ 的小数部分为a， $\sqrt{26}$ 的整数部分为b，则 $a + b - \sqrt{7}$ 的值是。

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16. 如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是．（写出一个答案即可）

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17. 设2016a³＝2017b³＝2018c³ ， abc＞0，且 $\sqrt[3]{2016 a^{2} + 2017 b^{2} + 2018 c^{2}} = \sqrt[3]{2016} + \sqrt[3]{2017} + \sqrt[3]{2018}$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ ＝

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三、解答题：本大题10小题，共96分.

18. 计算：

(1)、 $\sqrt[3]{8} + \sqrt{16} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt{2}$

(2)、 $- 1^{2} + \sqrt[3]{64} - (- 2) \times \sqrt{9}$

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19. 求下列等式中的x值：

(1)、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

(2)、 $8 {(x - 1)}^{3} + 27 = 0$

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20. 如果 $\sqrt[^{a + 2 b + 5}]{a - 3 b}$ 为 $a - 3 b$ 的算术平方根， $\sqrt[2 a - b - 1]{1 - a^{2}}$ 为 $1 - a^{2}$ 的立方根，求 $2 a - 3 b$ 的平方根．

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21. 如果一个实际数的真实值为a，近似值为b，那么|a-b|称为绝对误差， $\frac{| a - b |}{a}$ 称为相对误差．已知一根木条的实际长度为20.45cm，第一次测量精确到厘米，第二次测量精确到毫米，求两次测量所产生的绝对误差和相对误差．(相对误差精确到0.0001)

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22. 阅读下面材料：形如 $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}|$ 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}| = a d - b c$ ，例如： $|\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 3 & 4 \end{matrix}| = 2 \times 4 - (- 3) \times 5 = 8 + 15 = 23$ ．
利用上面法则，解答下列问题：

(1)、计算： $|\begin{matrix} \sqrt{49} & \sqrt[3]{- 125} \\ 2 & 1 \end{matrix}|$ ．

(2)、若关于x的不等式 $|\begin{matrix} x + 1 & x - 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}| \geq 4 + k$ 的负整数解为 $- 1$ ， $- 2$ ， $- 3$ ，求k的取值范围．

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23. 阅读材料1．
$\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分不能全部写出来，但由于 $1 < \sqrt{2} < 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，将 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为 $\sqrt{2} - 1$ ．

(1)、直接写出 $\sqrt{6}$ 的小数部分是； $\sqrt[3]{7}$ 的小数部分是；

(2)、已知 $12 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中 $x$ 是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $8 - y$ 的值；

(3)、阅读材料2．
小明在查阅了乘法公式 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求 $\sqrt{107}$ 的近似值（结果精确到0.01），设 $\sqrt{107} = 10 + x$ ，其中 $0 < x < 1$ ，则 $107 = 100 + 20 x + x^{2}$ ，因为 $0 < x < 1$ ，所以 $0 < x^{2} < 1$ ，所以 $107 \approx 100 + 20 x$ ，解得 $x \approx 0.35$ ，所以 $\sqrt{107} \approx 10.35$ ．
利用小明的方法估算 $\sqrt{125}$ 的近似值（结果精确到0.01）

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24. 对于实数，我们规定：用符号| $[\sqrt{x}]$ 表示不大于 $\sqrt{x}$ 的最大整数，并称 $[\sqrt{x}]$ 为x的根整数，例如：[ $\sqrt{9} = 3, [\sqrt{10}] = 3 .$

(1)、仿照以上方法计算： $[\sqrt{4}] =$ ， $[\sqrt{26}] =$ .

(2)、若 $[\sqrt{x}] = 1,$ 写出满足题意的x的整数值.

(3)、我们对x连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次 $[\sqrt{10}] = 3, [\sqrt{3}] =$ 1，这时候结果为1.
①对100连续求根整数，次之后结果为1.
②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 .

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25. 当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为 $3 : 2$ ，绣布面积为 $384 {dm}^{2}$ ．

(1)、求绣布的周长；

(2)、刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为 $198 {dm}^{2}$ 的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）

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26. 下表是平方根和立方根的部分内容：

	平方根	立方根
定义	一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．	一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质	一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．	正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．

【类比探索】（1）探索定义：

类比平方根和立方根，给四次方根下定义：____．

(1)、探究性质：

①1的四次方根是；

②16的四次方根是；

③0的四次方根是；

④ $- 625$ （填“有”或“没有”）四次方根．

类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：；

(2)、

\pm \sqrt[4]{625}

＝，

\sqrt[4]{{(- \frac{1}{4})}^{4}}

＝．

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27. 如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为 $1 {dm}^{2}$ 的小正方形拼成一个面积为 $2 {dm}^{2}$ 的大正方形，所得到的面积为 $2 {dm}^{2}$ 的大正方形的边就是原先面积为 $1 {dm}^{2}$ 的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________．

(2)、某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由．

(3)、若3是 $4 a + 5$ 的一个平方根， $3 a + b - 9$ 的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算 $4 a + b - c$ 的平方根．

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