高考一轮复习：功和能

试卷更新日期：2025-08-24 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段时间内，无人机向左水平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直方向成一定角度。忽略零件所受空气阻力，则在该段时间内（　　）

A、无人机做匀速运动 B、零件所受合外力为零 C、零件的惯性逐渐变大 D、零件的重力势能保持不变

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2. 活检针可用于活体组织取样，如图所示。取样时，活检针的针蕊和针鞘被瞬间弹出后仅受阻力。针鞘在软组织中运动距离d₁后进入目标组织，继续运动d₂后停下来。若两段运动中针翘鞘整体受到阻力均视为恒力。大小分别为F₁、F₂ ，则针鞘（）

A、被弹出时速度大小为 $\sqrt{\frac{2 (F_{1} d_{1} + F_{2} d_{2})}{m}}$ B、到达目标组织表面时的动能为F₁d₁ C、运动d₂过程中，阻力做功为(F₁＋F₂)d₂ D、运动d₂的过程中动量变化量大小为 $\sqrt{m F_{2} d_{2}}$

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3. 一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f=kv（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（）

A、 $\frac{2 k v^{2}}{η}$ B、 $\frac{k v^{2}}{2 η}$ C、 $\frac{k v^{2} + m v^{2}}{2 η}$ D、 $\frac{2 k v^{2} + m v^{2}}{η^{2}}$

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4. 下图是我们在学习平抛运动中做过的实验，A、B是两个完全相同的钢球。若忽略空气阻力，当小锤完成敲击后，下列对两小球的判断错误的是（　　）

A、从敲击后到两个钢球落地，两个钢球的动能增量相同 B、从敲击后到两个钢球落地，两个钢球的重力冲量相同 C、两个钢球落地时的重力功率不相同 D、两个钢球落地时的动量不相同

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5. 质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为 $S_{1}$ 时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为 $S_{2}$ 。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P₀为（）

A、 $\sqrt{\frac{2 F^{2} (F - f) (S_{2} - S_{1}) S_{1}}{(M + m) S_{2} - M S_{1}}}$ B、 $\sqrt{\frac{2 F^{2} (F - f) (S_{2} - S_{1}) S_{1}}{(M + m) S_{2} - m S_{1}}}$ C、 $\sqrt{\frac{2 F^{2} (F - f) (S_{2} - S_{1}) S_{2}}{(M + m) S_{2} - M S_{1}}}$ D、 $\sqrt{\frac{2 F^{2} (F - f) (S_{2} - S_{1}) S_{2}}{(M + m) S_{2} + m S_{1}}}$

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6. 新能源汽车越来越得到推广。某电动汽车自重2t，其营销广告如下：电池额定容量为50kW·h，电池瞬时功率最高可达90kW，车行驶受到的阻力约为车重的 $\frac{1}{10}$ ，理论续航里程400km。现有国家电网的充电桩可在电池额定容量的30%~80%之间应用快充技术（500V，50A）充电，而便携式充电器（220V，16A）可以将电池容量从0充到100%。不计充电损耗，当汽车电池剩余电量为额定值的30%时，下列说法正确的是（　　）

A、汽车还能行驶180km B、用国家电网充电桩将电池容量充到其额定值的80%，理论上需要50min C、用便携式充电器将电池容量充到其额定值的80%，理论上需要7h以上 D、此电动汽车的最高行驶速度可超过180km/h

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7. 如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（）

A、小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B、小球从c点到e点电势能先不变后减小 C、小球过f点的动能等于过d点的动能 D、小球过b点的速度大于过a点的速度

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8. 如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为 $m$ 的带电小球，以初速度 $υ$ 从 $M$ 点竖直向上运动，通过 $N$ 点时，速度大小为 $2 υ$ ，方向与电场方向相反，则小球从 $M$ 运动到 $N$ 的过程（）

A、动能增加 $\frac{1}{2} m υ^{2}$ B、机械能增加 $2 m υ^{2}$ C、重力势能增加 $\frac{3}{2} m υ^{2}$ D、电势能增加 $2 m υ^{2}$

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9. 如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为 $3 r$ 。原长为 $2 r$ 的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为 $E_{k A} 、 E_{k B} 、 E_{k C}$ ，则（）

A、 $E_{k A} < E_{k B} < E_{k C}$ B、 $E_{k B} < E_{k A} < E_{k C}$ C、 $E_{k A} < E_{k C} < E_{k B}$ D、 $E_{k C} < E_{k A} < E_{k B}$

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10. 直升机悬停在距离水平地面足够高的空中，无初速度投放装有物资的箱子，若箱子下落时受到的空气阻力与速度成正比，以地面为零势能面。箱子的机械能、重力势能、下落的距离、所受阻力的瞬时功率大小分别用E、 $E_{p}$ 、x、P表示。下列图像可能正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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11. 韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式化学空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1900J，他克服阻力做功100J。韩晓鹏在此过程中（）

A、动能增加了1900J B、动能增加了2000J C、重力势能减小了1900J D、重力势能减小了2000J

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12. 如图，带正电小球从水平面竖直向上抛出，能够达到的最大高度为 $h_{1}$ （如图甲）；若加水平向里的匀强磁场（如图乙），小球上升的最大高度为 $h_{2}$ ；若加水平向右的匀强电场（如图丙），小球上升的最大高度为 $h_{3}$ 。每次抛出的初速度相同，不计空气阻力，则（　　）

A、 $h_{3} > h_{2} > h_{1}$ B、 $h_{3} = h_{1} > h_{2}$ C、 $h_{2} > h_{3} = h_{1}$ D、 $h_{3} = h_{2} > h_{1}$

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13. 如图甲所示，将线圈套在长玻璃管上，线圈的两端与电流传感器（可看作理想电流表）相连。将强磁铁从长玻璃管上端由静止释放，磁铁下落过程中将穿过线圈。实验观察到如图乙所示的感应电流随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　）

A、 $t_{1} ~ t_{3}$ 时间内，磁铁受到线圈的作用力方向先向上后向下 B、磁铁下落过程减少的重力势能等于增加的动能 C、若将线圈的匝数加倍，则线圈中磁通量变化量也将加倍 D、若将磁铁两极翻转后重复实验，将先产生负向感应电流，后产生正向感应电流

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14. 某小山坡的等高线如图，M表示山顶， $A 、 B$ 是同一等高线上两点， $M A 、 M B$ 分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则（　　）

A、小球沿 $M A$ 运动的加速度比沿 $M B$ 的大 B、小球分别运动到 $A 、 B$ 点时速度大小不同 C、若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大 D、若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快

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15. 从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气阻力，该过程中小球的动能E_k与时间t的关系图像是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为 $R_{0}$ ，表面重力加速度为 $g_{0}$ 。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为 $m g_{0} R_{0}^{2} (\frac{1}{R_{0}} - \frac{1}{r}) (r ⩾ R_{0})$ 。要使飞行器在距星球表面高度为 $R_{0}$ 的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　）

A、 $\sqrt{g_{0} R_{0}}$ B、 $\sqrt{\frac{3 g_{0} R_{0}}{2}}$ C、 $\sqrt{2 g_{0} R_{0}}$ D、 $\sqrt{3 g_{0} R_{0}}$

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17. 如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（）

A、释放瞬间，物块加速度为零 B、物块和木箱最终仍有相对运动 C、木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D、物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变

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二、多项选择题

18. 沿倾角不同、动摩擦因数相同的斜面向上拉同一物体，若上升的高度相同，则（　　）

A、沿各斜面克服重力做的功相同 B、沿倾角小的斜面克服摩擦做的功大些 C、沿倾角大的斜面拉力做的功小些 D、条件不足，拉力做的功无法比较

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19. 如图所示，为轿车中的手动变速杆，若保持发动机输出功率不变，将变速杆推至不同档位，可获得不同的运行速度，从“1”～“6”挡速度增大，R是倒车挡．某型号轿车发动机的额定功率为60kW，在水平路面上行驶的最大速度可达180km/h．假设该轿车在水平路面上行驶时所受阻力恒定，则该轿车（）

A、以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“1”挡 B、以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“6”挡 C、以额定功率在水平路面上以最大速度行驶时，其牵引力为1200N D、以54km/h的速度在水平路面上匀速行驶时，发动机的输出功率为60kW

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20. 如图所示，轻质弹簧和一质量为2m的带孔小球套在一光滑竖直固定杆上，弹簧一端固定在地面上，另一端与小球在A处相连（小球此时被锁定），此时弹簧处于原长。小球通过水平细绳绕过光滑的定滑轮与一个质量为m的物块相连。解除锁定后，小球到达C处速度为零，此时弹簧压缩了h。弹簧一直在弹性限度内，轻绳一直伸直，重力加速度为g，定滑轮与竖直杆间的距离为h，则下列说法正确的是（）

A、在小球下滑的过程中，小球的速度始终大于物块的速度 B、从A→C的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能一直增大 C、小球下滑到C处时，弹簧的弹性势能为 $(3 - \sqrt{2}) m g h$ D、从A→C的过程中，小球和物块的重力势能和弹簧的弹性势能之和先减后增

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21. 滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。如图所示，质量为 $5 0kg$ 的人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过 $10 s$ 到达坡底，速度大小为 $20 m/s$ 。已知沙坡斜面的倾角为 $30 °$ ，重力加速度 $g$ 取 $10 m / s^{2}$ ，下列关于此过程的说法中正确的是（　　）

A、人的重力势能减少 $5.0 \times 10^{4} J$ B、人克服阻力做功 $2.5 \times 10^{4} J$ C、人的机械能减少 $1.5 \times 10^{4} J$ D、人的动能增加 $1.0 \times 10^{4} J$

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22. 2024年6月25日14时，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域如图甲所示，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回.若在即将着陆时，返回器主降落伞打开如图乙所示，逐渐减缓返回器的下降速度，返回器（含所有样品和设备）总质量为M，竖直减速下降 $h$ 高度的过程中加速度大小恒为 $a$ ，重力加速度大小为g，则下降h高度的过程中（　　）

A、返回器的重力做功 $M g h$ B、返回器的动能减少了 $M a h$ C、返回器的重力势能减少了 $M a h$ D、返回器的机械能减少了 $M a h$

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23. 汽车工程学中将加速度随时间的变化率称为急动度 $j$ ，急动度 $j$ 是评判乘客是否感到舒适的重要指标。了解“急动度”有助于我们在日常驾驶中采取更合理的驾驶习惯，保护车辆，延长其使用寿命。一辆汽车沿平直公路以 $v_{0} = 10 m / s$ 的速度做匀速运动， $t = 0$ 时刻开始加速，0~12.0s内汽车运动过程的急动度随时间变化的图像如图所示。已知该汽车质量 $m = 2 \times 10^{3} kg$ ，运动过程中所受阻力 $f = 1 \times 10^{3} N$ 。则（　　）

A、急动度 $j = \frac{Δ a}{Δ t}$ ，其中 $a$ 为加速度 B、汽车在 $0 \sim 4.0 s$ 内做匀加速直线运动 C、在 $4.0 \sim 8.0 s$ 内，汽车牵引力等于所受阻力 D、 $10.0 s$ 时，汽车牵引力的功率为 $7.5 \times 10^{4} W$

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24. 如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、 $2 q$ ，质量分别为m、 $2 m$ ，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　）

A、 $F_{1} = \frac{1}{2} F_{2}$ B、 $E = \frac{k q}{2 L^{2}}$ C、若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D、若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 $v = \sqrt{\frac{k q^{2}}{m L}}$

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25. 传送带转动的速度大小恒为1m/s，顺时针转动。两个物块A、B，A、B用一根轻弹簧连接，开始弹簧处于原长，A的质量为1kg，B的质量为2kg，A与传送带的动摩擦因数为0.5，B与传送带的动摩擦因数为0.25。t=0时，将两物块放置在传送带上，给A一个向右的初速度v₀=2m/s，B的速度为零，弹簧自然伸长。在t=t₀时，A与传送带第一次共速，此时弹簧弹性势能E_p=0.75J，传送带足够长，A可在传送带上留下痕迹，则（　　）

A、在t= $\frac{t_{0}}{2}$ 时，B的加速度大小大于A的加速度大小 B、t=t₀时，B的速度为0.5m/s C、t=t₀时，弹簧的压缩量为0.2m D、0﹣t₀过程中，A与传送带的痕迹小于0.05m

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三、非选择题

26. 利用如图甲所示的装置探究轻弹簧的弹性势能。弹簧的左端固定，右端与小滑块接触但不连接，小滑块位于桌面边缘时弹簧恰好处于原长。向左推小滑块移动距离s后，由静止释放，小滑块向右移动离开桌面落到水平地面上。测出桌面到地面高度h，桌边到小滑块落地点的水平距离x。重力加速度为g，忽略空气阻力的影响，则：

(1)、若改变滑块的质量m，仍将弹簧压缩s后由静止开始释放滑块，测出不同滑块离开桌面后的水平距离x，作 $\frac{1}{m} - x^{2}$ 的关系图像如图乙所示。图像的斜率为k，与纵轴的截距为b，则弹簧压缩s时的弹性势能为；

(2)、本实验中滑块与桌面间动摩擦因数为，（用h、k、s、b等物理量表示）桌面有摩擦对计算弹簧的弹性势能结果（选填“有影响”或“无影响”）。

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27. 元代王祯《农书》记载了一种人力汲水灌田农具——戽斗。某兴趣小组对库斗汲水工作情况进行模型化处理，设计了如图甲所示实验，探究库斗在竖直面内的受力与运动特点。该小组在位于同一水平线上的P、Q两点，分别固定一个小滑轮，将连结沙桶的细线跨过两滑轮并悬挂质量相同的砝码，让沙桶在竖直方向沿线段PQ的垂直平分线OO^'运动。当沙桶质量为136.0g时，沙桶从A点由静止释放，能到达最高点B，最终停在C点。分析所拍摄的沙桶运动视频，以A点为坐标原点，取竖直向上为正方向。建立直角坐标系，得到沙桶位置y随时间t的图像如图乙所示。

(1)、若将沙桶上升过程中的某一段视为匀速直线运动，则此段中随着连结沙桶的两线间夹角逐渐增大，每根线对沙桶的拉力（选填“逐渐增大”“保持不变”“逐渐减小”）。沙桶在B点的加速度方向（选填“竖直向上”“竖直向下”）。

(2)、一由图乙可知，沙桶从开始运动到最终停止，机械能增加J（保留两位有效数字，g = 9.8m/s²）。

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28. 某学习小组使用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律。
把一个直径为d的小球用不可伸长的细线悬挂，光电门置于小球平衡位置处，其光线恰好通过小球球心，计时器与光电门相连。
将小球拉离平衡位置并记录其高度h，然后由静止释放（运动平面与光电门光线垂直），记录小球经过光电门的挡光时间∆h。改变h，测量多组数据。已知重力加速度为g，忽略阻力。

(1)、以h为横坐标、填“ $Δ t$ ”、“ $(Δ t)^{2}$ 、“ $\frac{1}{Δ t}$ ”或“ $\frac{1}{(Δ t)^{2}}$ ”)为纵坐标作直线图。若所得图像过原点，且斜率为（用d和g表示），即可证明小球在运动过程中机械能守恒。

(2)、实验中.用游标卡尺测得小球直径d=20.48mm。
①由结果可知，所用的是分度的游标卡尺（填“10”、“20”或“50"）；
②小组设计了一把25分度的游标卡尺，未测量时的状态如图2所示。如果用此游标卡尺测量该小球直径，则游标尺上第条刻度线与主尺上的刻度线对齐。

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29. 某同学利用如图（a）所示的实验装置来测量重力加速度大小g。细绳跨过固定在铁架台上不可转动的小圆柱体，两端各悬挂一个重锤。实验步骤如下：

①用游标卡尺测量遮光片的宽度d。
②将遮光片固定在重锤1上，用天平测量重锤1和遮光片的总质量m、重锤2的质量M（M>m）。
③将光电门安装在铁架台上，将重锤1压在桌面上，保持系统静止，重锤2离地面足够高。用刻度尺测量遮光片中心到光电门的竖直距离H。
④启动光电门，释放重锤1，用毫秒计测出遮光片经过光电门所用时间t。
⑤根据上述数据求出重力加速度g。
⑥多次改变光电门高度，重复步骤，求出g的平均值。
回答下列问题：

(1)、测量d 时，游标卡尺的示数如图（b）所示，可知cm

(2)、重锤1通过光电门时的速度大小为v=（用遮光片d、t 表示）。若不计摩擦，g与m、M、d、t、H的关系式为。

(3)、实验发现，当M和m之比接近于1时，g的测量值明显小于真实值。主要原因是圆柱体表面不光滑，导致跨过圆柱体的绳两端拉力不相等。理论分析表明，圆柱体与绳之间的动摩擦因数很小时，跨过圆柱体的绳两端拉力差 $Δ T = 4 γ \frac{M m}{M + m} g$ ，其中γ是只与圆柱体表面动摩擦因数有关的常数。保持 $M + m = 2 m_{0}$ 不变，其中 $M = (1 + β) m_{0}$ ， $m = (1 - β) m_{0}$ 。β足够小时，重锤运动的加速度大小可近似表示为 $a = (β - γ) g$ 。调整两重锤的质量，测得不同β时重锤的加速度大小a，结果如下表。根据表格数据，采用逐差法得到重力加速度大小g=m/s²（保留三位有效数字）。
β 0.04 0.06 0.08 0.10
a/（m/s²） 0.084 0.281 0.477 0.673

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30. 两绳拉木板，每条拉力F = 250N，15s内匀速前进20m，θ = 22.5°，cos22.5° ≈ 0.9。求：
（1）阻力f大小；
（2）两绳拉力做的功；
（3）两绳拉力的总功率。

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31. 如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表面绝缘的小车，将带负电荷、电荷量 $q = 0.5 C$ ，质是 $m^{'} = 0.02 k g$ 的滑块放在小车的左端，小车的质量 $M = 0.08 k g$ ，滑块与绝缘板间的动擦因数 $μ = 0.4$ ，它们所在空间存在磁感应强度 $B = 1.0 T$ 的垂直于纸面向里的匀强磁场。开始时小车和滑块静止，一不可伸长的轻质细绳长 $L = 0.8 m$ ，一端固定在O点，另一端与质量 $m = 0.04 k g$ 的小球相连，把小球从水平位置由静止释放，当小球运动到最低点时与小车相撞，碰撞时间极短，碰撞后小球恰好静止，g取10m/s²。求：

(1)、与小车碰推前小球到达最低点时对细线的拉力 $F$ ；

(2)、小球与小车碰撞的过程中系统损失的机械能 $Δ E$ ；

(3)、碰撞后小车与滑块因摩擦而产生的最大热量 $Q$ 。

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32. 如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋人木塞内，随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为 $f = f_{0} (1 - \frac{x}{h})$ ，其中f₀为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度为a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为△p且近似不变，瓶子始终静止在桌而上。(提示：可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)求：

(1)、木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度 $ω$ 。

(2)、拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。

(3)、拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。

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33. 关于飞机的运动，研究下列问题。

(1)、质量为m的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x时速度为v。在此过程中，飞机受到的平均阻力为f，求牵引力对飞机做的功W。

(2)、飞机准备起飞，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超过该位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。已知跑道的长度为L，飞机加速时加速度大小为 $a_{1}$ ，减速时最大加速度大小为 $a_{2}$ 。求该位置距起点的距离d。

(3)、无风时，飞机以速率u水平向前匀速飞行，相当于气流以速率u相对飞机向后运动。气流掠过飞机机翼，方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向上的作用力大小F与u的关系满足 $F \propto u^{α}$ ，并确定 $α$ 的值。

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34. 某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角 $θ = 37 °$ 的直轨道 $A B$ ，半径 $R = 1 m$ 的圆弧轨道 $B C D$ ，长度 $L = 1.25 m$ 、倾角为 $θ$ 的直轨道 $D E$ ，半径为R、圆心角为 $θ$ 的圆弧管道 $E F$ 组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量 $m = 0.5 k g$ 滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量 $m = 0.5 k g$ 的小物块a从轨道 $A B$ 上高度为h静止释放，经圆弧轨道 $B C D$ 滑上轨道 $D E$ ，轨道 $D E$ 由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数 $μ_{1} = 0.25$ ，向下运动时动摩擦因数 $μ_{2} = 0.5$ ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a滑块b上滑动时动摩擦因数恒为 $μ_{1}$ ，小物块a动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力， $s i n 37 ° = 0.6$ ， $c o s 37 ° = 0.8$ ）

(1)、若 $h = 0.8 m$ ，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在 $D E$ 上经过的总路程；
③在 $D E$ 上向上运动时间 $t_{上}$ 和向下运动时间 $t_{下}$ 之比。

(2)、若 $h = 1.6 m$ ，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。

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35. 如图所示，长为L₂=1.5m的水平传送带左右两端与水平轨道平滑连接，以v₀=4.0m/s的速度逆时针匀速转动；左侧粗糙轨道RQ的长为L₁=3.25m，左端R点固定有弹性挡板；右侧光滑轨道PN的长为L₃=3.5m，其右端与光滑圆弧轨道相切（N点为圆弧轨道的最低点）。现将一可视为质点的小物块从圆弧轨道上某处静止释放，与挡板发生弹性碰撞后向右恰好能运动到P点。已知小物块与传送带以及左侧轨道的滑动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速g取10m/s² ， π²=10，不计物块与挡板的碰撞时间。

(1)、求物块第一次到达Q点时的速度大小；

(2)、为满足上述运动，求物块从圆弧轨道上释放高度的范围；

(3)、当物块从半径大于100m圆弧轨道上高度为0.8m的位置由静止释放后，发现该物块在圆弧轨道上运动的时间与从N点运动至第二次到达P点的时间相等，求圆弧轨道的半径。

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36. 如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量m= $\frac{1}{2}$ kg的小球自Q点正上方h=2m处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到F=15N时，b解除锁定开始运动。已知a的质量m_a=1kg，b的质量m_b= $\frac{3}{4}$ kg，方形物体的质量M= $\frac{9}{2}$ kg，重力加速度大小g=10m/s^² ，弹簧的劲度系数k=50N/m，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式式 $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$ （x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：

(1)、小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小v₁、v₂

(2)、弹簧弹性势能最大时，b的速度大小v及弹性势能的最大值E_pm。

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37. 科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样．以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象．当前P到O点的距离为 $r_{0}$ ，宇宙的密度为 $ρ_{0}$ ．

(1)、求小星体P远离到 $2 r_{0}$ 处时宇宙的密度ρ；

(2)、以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面．P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力．已知质量为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 、距离为R的两个质点间的引力势能 $E_{p} = - G \frac{m_{1} m_{2}}{R}$ ， G为引力常量．仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动．
a．求小星体P从 $r_{0}$ 处远离到 $2 r_{0}$ 处的过程中动能的变化量 $Δ E_{k}$ ；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律 $v = H r$ ，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数．H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小．

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β	0.04	0.06	0.08	0.10
a/（m/s²）	0.084	0.281	0.477	0.673