第三章《二次根式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-08-23 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）.

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{147}$ C、 $\sqrt{25 a}$ D、 $\sqrt{a^{2} + 1}$

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2. 已知 $\sqrt{24 n}$ 是整数，正整数n的最小值为（）

A、0 B、1 C、6 D、36

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3. 若 $\sqrt{1.988} = 1.410$ ， $\sqrt{1988} = 44.59$ ，则 $\sqrt{0.1988}$ 的值为（）

A、0.01410 B、0.1410 C、4.459 D、0.4459

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4. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} + |a - b|$ 的结果是（）

A、 $- 2 a + b$ B、 $2 a - b$ C、 $b + a$ D、 $b - a$

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5. $\sqrt{{(1 \frac{2}{3})}^{2}} + \sqrt{{(- 1 \frac{2}{3})}^{2}}$ 的值是（）

A、0 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $3 \frac{1}{3}$ D、以上都不对

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6. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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7. 等式 $\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}$ 成立的条件是(　　).

A、x≥1 B、x≥-1 C、-1≤x≤1 D、x≥1或x≤-1

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8. 计算 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2024} \times (\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2025}$ ，结果是( )

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ B、-1 C、 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

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9. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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10. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 把 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 化为最简二次根式，结果是．

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12. 若二次根式 $\sqrt{3 x - 6}$ 有意义，则x的取值范围是

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13. 计算 $(\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}) \times \sqrt{3}$ 的结果是.

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14. 若实数 $m ， n$ 满足 $| m - n - 5 | + \sqrt{2 m + n - 4} = 0$ ，则 $3 m + n =$

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15. 已知 $a^{2} = 81$ ， $\sqrt[3]{b} = - 2$ ，则 $\sqrt{b - a} =$ ．

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16. 若 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则代数式 $(2 + \sqrt{2} a) \cdot b$ 的值是．

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17. 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为r= $2 π \sqrt{\frac{l}{g}},$ 其中r 表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，g为重力加速度且 $g = \frac{9.8 m}{s^{2}},$ 假如一台座钟的钟摆的长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出次滴答声.(结果保留整数，参考数据：π取3.14， $\sqrt{10} \approx 3.16)$

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18. 任意一个二次根式 $\sqrt{p}$ （ $p$ 为正整数），都可以进行这样的分解： $\sqrt{p} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ （ $a, b$ 都是正整数，且 $a \leq b$ ），在 $p$ 的所有这种分解中，若 $\sqrt{b} - \sqrt{a}$ 最小，我们就称 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ 是 $\sqrt{p}$ 的最佳分解，并记为： $F (p) = \frac{a}{b}$ ．例如 $\sqrt{12}$ 可以分解成 $\sqrt{1} \times \sqrt{12}, \sqrt{2} \times \sqrt{6}$ 或 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ ，显然 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ 是 $\sqrt{12}$ 的最佳分解，此时 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．若正整数 $m, n$ 满足 $F (m) = \frac{4}{5}$ ， $F (n) = 1$ ，且 $20 < m + n < 25$ ，则 $\sqrt{m n}$ 的值为．

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 计算：

(1)、 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6}) .$

(2)、 ${(\sqrt{3} + 1)}^{2001} - 2 {(\sqrt{3} + 1)}^{2000} - 2 {(\sqrt{3} + 1)}^{1999} + 2001$ .

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20. 设实数 $\sqrt{7}$ 的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(3a-b)的值.

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21. 若x，y为实数，且 $y > \sqrt{(x - 2)} + \sqrt{(2 - x)} + 2$ ，化简： $\frac{1}{2 - y} \sqrt{y^{2} - 4 y + 4} + \sqrt{2 x}$ .

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22. 已知 $x = \frac{1}{2} (\sqrt{7} + \sqrt{5}) ， y = \frac{1}{2} (\sqrt{7} - \sqrt{5})$ ，求下列各式的值：
（1） $x^{2} + y^{2}$
（2） $x^{2} - y^{2}$ ．
（3） $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

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23. 一个三角形的三边长分别为 $3 \sqrt{\frac{x}{3}}$ 、 $\frac{1}{2} \sqrt{12 x}$ 、 $\frac{3 x}{4} \sqrt{\frac{4}{3 x}}$ .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。

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24. “比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： $\{\begin{matrix} a - b > 0, 则 a > b \\ a - b = 0, 则 a = b \\ a - b < 0, 则 a < b \end{matrix}$ ；
例如：比较 $\sqrt{19} - 2$ 与2的大小．
∵ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4$ 又∵ $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}$ 则 $4 < \sqrt{19} < 5$
∴ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4 > 0$ ， ∴ $\sqrt{19} - 2 > 2$ ．
请根据上述方法解答以下问题：

(1)、 $\sqrt{29}$ 的整数部分是________， $\sqrt{29}$ 的小数部分是________；

(2)、比较 $2 - \sqrt{23}$ 与 $- 3$ 的大小．

(3)、已知 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ，试用“比差法”比较 $\sqrt{100} + \sqrt{98}$ 与 $2 \sqrt{99}$ 的大小．

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25. 在进行化简二次根式 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ 时，通常有如下两种方法：
方法一： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ ；
方法二： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{{(\sqrt{2})}^{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ；

(1)、请用以上两种方法化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2021}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，求 $3 a^{2} + 6 a + 5$ 的值.

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26.

(1)、【知识再现】
尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞”“＜”或“＝”填空）
$2 + 3$ $2 \sqrt{2 \times 3}$ ； $6 + 4$ $2 \sqrt{6 \times 4}$ ； $7 + 7$ $2 \sqrt{7 \times 7}$ ；

(2)、【猜想证明】
观察上面的式子，请你猜想 $a + b$ 与 $2 \sqrt{a b}$ （ $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ）的大小关系，并说明理由；

(3)、【实践应用】
请利用上述结论解决问题：如图，一个长方形养鸡场的长边靠墙，其他三边用竹篱笆围成，已知长方形养鸡场的面积为 $200 m^{2}$ ，则所用篱笆的长度至少为多少米？

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第三章 《二次根式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

第三章《二次根式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测