第三章《二次根式》基础卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-08-23 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{0.4}$

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2. 无理数 $\sqrt{6}$ 的倒数是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $- \sqrt{6}$

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的自变量的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \geq - 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $x > 0$ D、 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = \pm 2$ B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、 $\sqrt{12} \times \sqrt{8} = 4 \sqrt{6}$ D、 ${(2 \sqrt{3})}^{2} = 6$

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5. 设 $\sqrt{2}$ =a， $\sqrt{3}$ =b，则用含a，b的式子表示 $\sqrt{24}$ ，可得（　　）

A、2 $\sqrt{a b}$ B、4ab C、2ab D、4 $\sqrt{a b}$

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6. 若 $\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + y = 5$ ，那么 $\sqrt{3 x + 2 y}$ 的平方根是（）

A、2 B、4 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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7. 下列各数中，与 $2 - \sqrt{3}$ 的和为有理数的是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $5 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $5 - \sqrt{3}$

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8. 最简二次根式 $\sqrt{2 + x}$ 与 $\sqrt{5 - 2 x}$ 是能够合并的二次根式，则x的值为（　　）

A、1 B、﹣2 C、﹣1 D、0

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9. 已知 $a, b$ 均为有理数，且 $a + b \sqrt{3} = {(2 - \sqrt{3})}^{2}$ ，则 $a, b$ 的值为（）

A、 $a = 4, b = 3$ B、 $a = 7, b = - 4$ C、 $a = 4, b = 4$ D、 $a = 7, b = 4$

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10. 对于任意的正实数m，n，定义运算“※”：m※n= $\{\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n)， \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n)， \end{array}$ 计算(3※2)×(8※12)的结果为(　　)

A、2-4 $\sqrt{6}$ B、2 C、2 $\sqrt{5}$ D、20

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 化简： $2 \sqrt{12} =$ ．

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12. 计算： $\sqrt{{(3 - π)}^{2}} =$ ．

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13. 长方形的长为 $2 \sqrt{3}$ ，宽为 $\sqrt{5}$ ，则长方形的面积为．

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14. 如果你的计算器上的一个键“8”坏了，仍想继续用这个计算器计算“ $\sqrt{8}$ ”，用算式表示计算过程是.

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15. 若 $\sqrt{a + 2}$ 与 $|b - \sqrt{2}|$ 互为相反数，则 $a b =$ ．

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16. 分母有理化： $\frac{1}{4 - 2 \sqrt{3}} =$ ．

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17. 已知 $\sqrt{3}$ 的整数部分是a ，小数部分是b ，则 $\sqrt{3} b + a b =$ ．

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18. 对于任意不相等的两个数 $a$ ， $b$ ，定义一种运算 $※$ 如下： $a ※ b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$ ，如 $5 ※ 4 = \frac{\sqrt{5 + 4}}{5 - 4} = 3$ ，那么 $(2 - \sqrt{3}) ※ (7 ※ 5) =$ ．

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 化简：
$(1) \sqrt{50};$ $(2) \sqrt{\frac{2}{7}};$ $(3) \sqrt{\frac{1}{3}} .$

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20. 计算

(1)、 $\sqrt{\frac{25}{9}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} \div (- \frac{4}{3})$ ；

(2)、 $|\sqrt{3} - 2| - \sqrt[3]{- 27} - \sqrt{{(- 3)}^{2}} + \sqrt{16}$

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21. 已知最简二次根式 $\sqrt{a - 2}$ 与 $\sqrt{24}$ 可以合并，求 $a$ 的值。

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22. 已知 $x y = 6$ ，且x ， y都是正数，求 $x \sqrt{\frac{y}{x}} + y \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值．

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23. 已知一块长为 $7 dm$ ，宽为 $5 dm$ 的长方形木板，如图．

(1)、与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______ $dm$ ；

(2)、采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为 $8 {dm}^{2}$ 和 $18 {dm}^{2}$ 的正方形木板？试说明理由．

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24. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的位置如图所示．

(1)、化简： $\sqrt{a^{2}} =$ __________， $|a + b| =$ __________．

(2)、先化简再求值： $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} + \sqrt{{(b - 2)}^{2}}$ ，其中 $a$ 是 $\frac{1}{4}$ 的一个平方根， $b$ 是3的算术平方根．

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25. 已知 $a = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ．
（1）求 $a + b$ 的值；
（2）设 $m$ 是 $a$ 小数部分， $n$ 是 $b$ 整数部分，求代数式 $4 m^{2} + 4 m n + n^{2}$ 的值．

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26. [问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律：
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{2}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{2}{3}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{3}{4}$ ；
……
【实践探究】
（1）计算： $\sqrt{1 - \frac{13}{49}} =$ ______， $\sqrt{1 - \frac{17}{81}} =$ ______；
（2）按照你所发现的规律，猜想： $\sqrt{1 - \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}}} =$ _________（n为正整数）；
【迁移应用】
（3）计算： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} \times \sqrt{1 - \frac{5}{9}} \times \sqrt{1 - \frac{7}{16}} \times \dots \times \sqrt{1 - \frac{199}{10000}}$ ．

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第三章 《二次根式》基础卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

第三章《二次根式》基础卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测