第二章《分式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-08-23 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{x + 1}{x^{2} + 1}$
B、 $\frac{2 x + 6}{4 y - 2}$
C、 $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$
D、 $\frac{x^{2}}{2 x}$

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2. 已知 $2 x - 3 y = 0$ ，则分式 $\frac{x + y}{2 x - y}$ 的值为（）

A、5 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、1

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3. 已知 $a^{m} = b$ ， $b^{n} = a^{- 1}$ ， $4^{m + n} = 8$ ，下列计算结果正确的是（）
① $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = - \frac{3}{2}$ ；② $\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = - \frac{17}{4}$ ；③ $m^{2} + n^{2} = \frac{17}{4}$ ；④ $m^{2} - n^{2} = \frac{15}{4}$

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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4. 试卷上一个正确的式子 $(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) \div ⋆ = \frac{2}{a + b}$ 被小颖同学不小心滴上墨汁（ $⋆$ ）．被墨汁（ $⋆ ）$ 遮住部分的代数式为（）

A、 $\frac{a}{a - b}$ B、 $\frac{a - b}{a}$ C、 $\frac{a}{a + b}$ D、 $\frac{4 a}{a^{2} - b^{2}}$

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5. 已知分式 $\frac{3 x - n}{x + m}$ （m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）
x的取值
-2
2
a
0
分式的值
无意义
0
1
b

A、m=2 B、n=6 C、a=-4 D、b=-3

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6. 为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道 $x$ 米，可得方程 $\frac{2400}{x - 20} - \frac{2400}{x} = 6$ ．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（）．

A、每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B、每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C、每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D、每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成

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7. 已知 $x^{m} = 8, x^{2 n + m} = 128$ ，则 $x^{n}$ 的值是（）

A、 $\pm 8$ B、 $\pm 4$ C、4 D、8

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8. 若 $a = 3 b$ 且a、b为正整数，当分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（）

A、277 B、240 C、272 D、256

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9. 已知公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ （ $R_{1} \neq R_{2}$ ），则表示 $R_{1}$ 的公式是（）

A、 $R_{1} = \frac{R_{2} - R}{R R_{2}}$ B、 $R_{1} = \frac{R R_{2}}{R - R_{2}}$ C、 $R_{1} = \frac{R (R_{1} + R_{2})}{R_{2}}$ D、 $R_{1} = \frac{R R_{2}}{R_{2} - R}$

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10. 已知关于x和y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 4 x + y = 2 k \\ x - y = 4 - k \end{array}$ （k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8^x•4^y＝32，则解为k＝3；④若x^k＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 若分式 $\frac{2 - | x |}{x + 2}$ 的值为零，则x的值为.

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12. 已知 $\frac{3 x - 4}{（ x - 1 ）（ x - 2 ）} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$ ，则实数 $A =$

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13. 若 $\frac{x}{y} = 2$ ，则 $\frac{x^{2} - 1}{x y} - \frac{y^{2} - 1}{x y} =$

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14. 若 $\frac{7 n + 15}{n - 3}$ 为整数，则整数n 可能取的值有个.

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15. 若 ${(5 - 2 x)}^{x + 1} = 1$ ，则 $x =$ ．

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16. 若6^x=3，6^y=2，则6^2x^﹣^3y= ．

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17. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．

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18. 重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 $\frac{2}{5}$ ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 $\frac{7}{20}$ ，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是．

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 解分式方程．

(1)、 $\frac{x - 3}{4 - x} - 1 = \frac{1}{x - 4}$

(2)、 $\frac{3}{x} + \frac{6}{x - 1} = \frac{x + 5}{x^{2} - x}$

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20. 化简：

(1)、 $(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x}{x^{2} - 4}$ ．

(2)、 $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} \div (x - \frac{x}{x + 1})$ ．

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21. 计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 5 \div {(2024 - π)}^{0} .$

(2)、 ${(π - 3.14)}^{0} - {(0.5)}^{- 2} + {(\frac{1}{3})}^{2024} \times {(- 3)}^{2024}$

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22. 先化简 $\frac{2 a + 2}{a} \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2}} - \frac{a}{a + 1}$ ，再在 $- 2 < a < 2$ 的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．

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23. 在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．

(1)、已知 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ ，若 $a^{m} = 4$ ， $a^{m - n} = 2$ ，请你也利用逆向思考的方法求 $a^{n}$ 的值；

(2)、下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业
计算： $8^{9} \times {(- 0.125)}^{9}$ ．
解： $8^{9} \times {(- 0.125)}^{9} = {(- 8 \times 0.125)}^{9} = {(- 1)}^{9} = - 1$ ．
计算： $5^{2025} \times {(- 0.2)}^{2024}$ ．

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24. 已知，关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，求分式方程的解；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $b$ 为何值时分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 无解；

(3)、若 $a = 3 b$ ，且 $a$ 、 $b$ 为正整数，当分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 的解为整数时，求 $b$ 的值．

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25. 如图，数轴上有 $A ， B ， C ， D$ 四点，点 $D$ 对应的数为 $x$ ，已知 $O A = 7 ， O B = 5 ， C D = 3$ ， $P ， Q$ 两点同时从原点 $O$ 沿着数轴正方向以 $v_{P}$ 和 $v_{Q}$ 的速度运动，且 $v_{P} < v_{Q}$ ．点 $Q$ 到点 $D$ 后立即朝数轴的负方向运动，在 $C$ 处与点 $P$ 相遇，相遇后点 $P$ 也立即朝着数轴的负方向运动，且 $P ， Q$ 两点的速度都变为原来的 $\frac{1}{2}$ ．当点 $Q$ 返回到原点 $O$ 时，点 $P$ 恰好在 $B$ 处．

(1)、当 $P ， Q$ 两点相遇时，求点 $P$ 前进的路程 (用含 $x$ 的式子表示)．

(2)、求 $P ， Q$ 两点相遇前速度的比值 $\frac{v_{P}}{v_{Q}}$ (用含有 $x$ 的式子表示)．

(3)、当点 $Q$ 到 $A$ 处时，问点 $P$ 是否已经过原点 $O$ ，请说明理由．

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26. 近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.

大无人机运输次数(单)
小无人机运输次数(单)
营收(元)
第一天
4
20
3600
第二天
8
28
5760

(1)、求大小两款无人机的单次运输价格；

(2)、正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；

(3)、在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？

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	大无人机运输次数(单)	小无人机运输次数(单)	营收(元)
第一天	4	20	3600
第二天	8	28	5760

x的取值	-2	2	a	0
分式的值	无意义	0	1	b

第二章 《分式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

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