湘教版（2024）数学八年级上册2.5可化为一元一次方程的分式方程第一课时同步分层练习

试卷更新日期：2025-08-23 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 下列关于 $x$ 的方程中，不是分式方程的是（）

A、 $\frac{x}{5} = \frac{6}{x - 5}$ B、 $\frac{20}{x + 1} = \frac{5}{x - 1} + 1$ C、 $\frac{3 x}{x^{2} + 3} = 5$ D、 $\frac{x}{2} = \frac{x}{4} - x$

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2. 方程 $\frac{2}{x + 1} = 1$ 的解的情况是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x = 2$ D、无解

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3. 解分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{5}{3 - x} - 2$ 去分母变形正确的是（）

A、 $x = 5 - 2 (x - 3)$ B、 $x = - 5 - 2 (x - 3)$ C、 $x = 5 - 2 (3 - x)$ D、 $- x = - 5 + 2 (3 - x)$

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4. 分式 $\frac{3}{1 - x}$ 与 $\frac{2}{x}$ 互为相反数，则x的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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5. 关于x的分式方程 $\frac{x + 1}{x - 4} = \frac{a}{x - 4}$ 有增根，则a的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 下列关于x的方程① $\frac{x - 1}{3} = 5$ ，② $\frac{1}{x} = \frac{4}{x - 1}$ ，③ $\frac{3 - x}{3} = x -$ 1，④ $\frac{x}{a} = \frac{1}{b - 1}$ 中，是分式方程的是（）（填序号）

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7. 如果 $\frac{1}{x}$ 比 $\frac{1}{2 x}$ 大1，则 $x =$ ．

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8. 已知 -2是关于x的分式方程 $\frac{x - k}{x + 3} = 2 x$ 的根，则实数k的值为 .

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9. 若关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{a - x}{x - 2}$ 无解，则a的值是．

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10. 对于实数a，b，我们可以定义一种运算“ $\otimes$ ”为： $a \otimes b = \frac{a}{b}$ ，则方程 $3 \otimes x = 2 \otimes (x - 1)$ 的解为．

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11. 解下列方程：

(1)、 $\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$

(2)、 $\frac{3 x + 1}{6 x - 2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{3 x - 1}$

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二、能力提升

12. 关于x的分式方程 $\frac{3 x + m}{x - 1} = 5$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、 $m > - 5$ B、 $m < - 5$ C、 $m > - 5$ 且 $m \neq - 3$ D、 $m \neq - 3$

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13. 若等式 $\frac{□}{a^{2} + 7 a} = \frac{1}{a + 7}$ 成立，则“ $□$ ”内的是（）

A、 $a^{2} + 7 a$ B、 $7$ C、 $a + 7$ D、 $a$

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14. 对于关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$ ，以下说法错误的是（）

A、分式方程的增根是 $x = 0$ 或 $x = 3$ B、若分式方程有增根，则 $m = - \frac{3}{2}$ C、若分式方程无解，则 $m = - \frac{1}{2}$ 或 $m = - \frac{3}{2}$ D、分式方程的增根是 $x = 3$

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15. 若整数m使得关于x的方程 $\frac{m}{x - 1} = \frac{2}{1 - x} + 3$ 的解为非负整数，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} 4 y - 1 < 3 (y + 3) \\ y - m ⩾ 0 \end{array}$ 至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（）

A、7 B、5 C、0 D、－2

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16. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的 $a$ ， $b$ 后，按照程序图运行，会输出一个结果．若 $a = 5$ ， $b = x$ 时，输出的结果为2，则 $x$ 的值为．

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17. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3}{x} + \frac{6}{x - 1} - \frac{x + k}{x (x - 1)} = 0$ 有解，则 $k$ 满足。

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18. 如图，点 $A$ ， $B$ 在数轴上，它们所表示的数分别是 $- 4$ ， $\frac{4 x - 4}{5 x + 1}$ ，且点 $A$ 到原点的距离是点 $B$ 到原点的距离的 $2$ 倍，则 $x =$ ．

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19. 对于实数x，y定义一种新运算“*”： $x * y = \frac{y}{x^{2} - y}$ ，例如： $1 * 2 = \frac{2}{1^{2} - 2} = - 2$ ，当分式方程 $- 1 * x = \frac{m}{x - 1} + 2$ 解为正数时，则m的取值范围．

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20. 解方程：

(1)、 $\frac{x}{x - 2} + 1 = \frac{2}{2 - x}$ ；

(2)、 $\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^{2} - 4} = 0$ ．

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21. 若关于x的分式方程： $2 - \frac{1 - 2 k}{x - 3} = \frac{1}{3 - x}$ 的解为正数，求k的取值范围．

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三、拓展创新

22. 根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 $x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{3}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $x_{1} = 4, x_{2} = \frac{1}{4} \dots \dots$
以此类推：

(1)、请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 $x + \frac{1}{x} = 8 + \frac{1}{8}$ 的解是______；

(2)、根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 $x + 1 + \frac{1}{x + 1} = a + \frac{1}{a} (a \neq 0)$ 得到 $x + 1 =$ ________；

(3)、拓展延伸：由（2）可知，在解方程 $x + \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{82}{9}$ 时，可变形转化为 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．

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湘教版（2024）数学八年级上册2.5可化为一元一次方程的分式方程 第一课时 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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