人教版（2024）八（上）数学第十三章单元质量检测培优卷

试卷更新日期：2025-08-20 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（）

A、 $9 0^{°}$ B、 $13 5^{°}$ C、 $12 0^{°}$ D、 $4 5^{°}$ 或 $13 5^{°}$

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2. 在探究证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”的是（）

A、如图①，过点 $C$ 作 $E F ∥ A B$ B、如图②，延长 $A C$ 到 $F$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ C、如图③，过 $A B$ 上一点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ ， $D F ∥ A C$ D、如图④，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$

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3. 小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 等于（）

A、 $150 °$ B、 $180 °$ C、 $210 °$ D、 $270 °$

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4. 如图，点D是 $△ A B C$ 边 $B C$ 上的中点，点E是 $A D$ 上一点且 $D E = 3 A E$ ， F、G是边 $A B$ 上的三等分点，若四边形 $F G D E$ 的面积为14，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、24 B、42 C、48 D、56

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5. 如图，△ $A B C$ 为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E ， BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G ，则∠ADC与∠GBF的和为（）

A、120° B、135° C、150° D、160°

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6. 如图，在 $△ C E F$ 中， $∠ E = 80 °$ ， $∠ F = 50 °$ ， $A B ∥ C F$ ， $A D ∥ C E$ ，连接BC，CD，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、45° B、50° C、55° D、80°

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7. 如图， $A B ⊥ C D$ 于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是射线 $O A$ 、 $O C$ 上的动点（不与点 $O$ 重合），延长 $F E$ 至点 $G$ ， $∠ B O F$ 的角平分线及其反向延长线分别交 $∠ F E O$ 、 $∠ G E O$ 的角平分线于点 $M$ 、 $N$ .若 $△ M E N$ 中有一个角是另一个角的3倍，则 $∠ E F O$ 为（）.

A、 $45 °$ 或 $30 °$ B、 $30 °$ 或 $60 °$ C、 $45 °$ 或 $60 °$ D、 $67.5 °$ 或 $45 °$

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8. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $A D$ 、 $B E$ 相交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ A B$ ，过点 $B$ 作 $B G ⊥ D G$ 于点 $G$ ，有以下结论：① $∠ A F B = 135 °$ ；② $∠ B D G = 2 ∠ C B E$ ；③ $B C$ 平分 $∠ A B G$ ；④ $∠ B E C = ∠ F B G$ ，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 的内角 $∠ A = α$ ，分别作内角 $∠ A B C$ 与外角 $∠ A C D$ 的平分线，两条平分线交于点 $A_{1}$ ，得 $∠ A_{1}$ ； $∠ A_{1} B C$ 和 $∠ A_{1} C D$ 的平分线交于点 $A_{2}$ ，得 $∠ A_{2}$ ；……以此类推得到 $∠ A_{2022}$ ，则 $∠ A_{2022}$ 的度数是（）

A、 $\frac{α}{2}$ B、 $\frac{α}{2^{2022}}$ C、 $\frac{α}{2^{2021}}$ D、 $90 + \frac{α}{2}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有种．

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12. △ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝.

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13. 如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S_△_ABC＝12，则S_△_ADF﹣S_△_BEF＝．

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14. 如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF= $\frac{1}{2}$ （∠BAF+∠C）； ③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F= $\frac{1}{2}$ （∠BAC﹣∠C）；其中正确的是．

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15. 如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标．
在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线 $F B C$ 自动与 $0 °$ 刻度线 $A E$ 保持平行（即 $B C ∥ A E$ ），并与A处的镜面所在直线 $N A$ 相交于点C， $S A$ 所在直线与水平线 $M B$ 相交于点D， $∠ E A C = ω$ ，观测角 $∠ S D M$ =（用 $ω$ 表示）．
小贴士：
如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中 $∠ B A C = ∠ S A N = α$ ， $∠ D B C = ∠ A B F = β ．$

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三、解答题：本大题共8小题，共75分

16. 如图，线段 $A C$ 与 $B D$ 相交于 $F$ ，点 $G$ 、 $H$ 分别是 $A D$ 延长线、 $B C$ 延长线上一点.线段 $D E$ 在 $∠ G D F$ 内部，线段 $E C$ 在 $∠ H C F$ 内部．四边形 $D E C F$ 始终为凸四边形，且有 $(a + 1) ∠ G D E = ∠ G D F$ ， $b ∠ H C E = ∠ E C F$ ， $a$ 、 $b$ 均为正数．

(1)、若 $a = b = 1$ ， $∠ D A C = 30 °$ ， $∠ D B C = 35 °$ ， $∠ E D F = 40 °$ ，如图1，求 $∠ E C F$ 度数；

(2)、若 $a = 4$ ， $∠ D A C = 30 °$ ， $∠ D B C = 40 °$ ，如图2，则当 $∠ A D B$ 变化时， $b$ 为何值时， $∠ E$ 为与 $a$ 、 $b$ 无关的定值？

(3)、若 $∠ D A C = ∠ D B C = α$ 为定值，如图3，则 $a$ 和 $b$ 满足关系式______时， $∠ E$ 为与 $a$ 、 $b$ 无关的定值.

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17. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，点F在AE上且CF∥AD．

(1)、如图①，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFE＝度．

(2)、如图①，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＞∠B，∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝（用含x，y的代数式表示）．

(3)、如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由．

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18. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

(1)、如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

(2)、在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)

(3)、根据(2)的结论，求图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．

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19. △ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．

(1)、如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．

(2)、如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．

(3)、拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．

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20. 如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $P$ ．

(1)、若 $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是　　；

(2)、如图 $②$ ，作 $△ A B C$ 外角 $∠ M B C$ ， $∠ N C B$ 的角平分线交于点 $Q$ ，试探索 $∠ Q$ ， $∠ A$ 之间的数量关系；

(3)、如图 $③$ ，延长线段 $B P$ ， $Q C$ 交于点 $E$ ，在 $△ B Q E$ 中，存在一个内角等于另一个内角的 $3$ 倍，求 $∠ A$ 的度数．

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21.

(1)、【课本再现】如图1，在 $△ A B C$ 中，线 $E F$ 经过点 $A$ 且 $E F ∥ B C$ ．求证： $∠ B A C + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ；

(2)、【变式演练】如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 50 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $D E ∥ A B$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．若 $∠ 1 = 125 °$ ，求 $∠ B$ 的度数；

(3)、【方法应用】如图3，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，夹角的锐角为 $α$ ，点 $B$ 在直线 $l_{1}$ 上且在点 $O$ 右侧，点 $C$ 在直线 $l_{2}$ 上且在直线 $l_{1}$ 上方，点 $A$ 在直线 $l_{1}$ 上且在点 $O$ 左侧运动，点 $E$ 在射线 $C O$ 上运动（不与点 $C 、 O$ 重合）．当 $α = 70 °$ 时， $E F$ 平分 $∠ A E C ， A G$ 平分 $∠ E A B$ 交直线 $E F$ 于点 $G$ ，求 $∠ G$ 的度数．

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22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．

（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：

(1)、填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；

(2)、探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；

(3)、应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．

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23. 已知AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线FG上一点．

(1)、如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得 $∠ A E D = ∠ E A F + ∠ E D G$ ．
小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴ $∠ E A F = ∠ A E H$ ， $∠ E D G = ∠ D E H$ ，（依据1）
∴ $∠ A E D = ∠ A E H + ∠ D E H = ∠ E A F + ∠ E D G$ ；（依据2）
填空：依据1：．
依据2：．

(2)、如图2，当点E在FG延长线上时，求证： $∠ E A F = ∠ A E D + ∠ E D G$ ；

(3)、如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且 $∠ E D I ： ∠ C D I = 2 ： 1$ ， $∠ A E D = 2 0^{∘}$ ， $∠ I = 3 0^{∘}$ ，求∠EKD的度数．

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