2.3《二次根式》（1）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练

试卷更新日期：2025-08-20 类型：同步测试

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一、基础应用

1. 若 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \leq - 1$ C、 $x > - 1$ D、 $x < - 1$

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2. 下列式子是二次根式的是（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{- 3}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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3. 计算 $\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ 的结果是（）

A、3 B、6 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4. 下列式子一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{x}$ B、 $\sqrt{x + 2}$ C、 $\sqrt{x^{2} - 2}$ D、 $\sqrt{x^{2}}$

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5. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{8}$ B、 $\sqrt{5} \times \sqrt{3} = \sqrt{15}$ C、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ D、 $3 \div \sqrt{3} = 1$

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6. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{2} =$ .

(2)、 $\sqrt{3} \times \sqrt{24} =$

(3)、 $\sqrt{\frac{6}{5}} \times \sqrt{\frac{2}{15}} =$ .

(4)、 $\sqrt{\frac{5}{3}} \times \sqrt{6} =$ .

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7. 计算：

(1)、 $\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{2}{3}};$

(2)、 $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}} .$

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8. 计算： $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}} - 1 .$

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9. $\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{6}}{\sqrt{24}}$ .

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二、能力提升

10. 在如下所示的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为.

$3 \sqrt{2}$
2

$\sqrt{3}$
1
6

3

$\sqrt{2}$

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11. 如图，将1， $\sqrt{2} ， \sqrt{3}$ 三个数按图中方式排列；若规定 $(a, b)$ 表示第a排第b列的数，则 $(5, 4)$ 与 $(51, 30)$ 表示的两个数的积是（       ）
                                                         1            第1排
                                         $\sqrt{3}$          $\sqrt{2}$              第2排
                               $\sqrt{3}$         $\sqrt{2}$         1             第3排
                      1        $\sqrt{3}$       $\sqrt{2}$         1             第4排
     ……    第4列第3列第2列   第1列 ……

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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12. 已知 $\sqrt{7} = a$ ， $\sqrt{70} = b$ ，则 $\sqrt{4.9}$ 用a，b表示为（）

A、 $\frac{a + b}{10}$ B、 $\frac{a - b}{10}$ C、 $\frac{b}{a}$ D、 $\frac{a b}{10}$

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13. 已知二次根式 $\sqrt{12 n}$ 的值是正整数，其中 $n$ 为整数，则 $n$ 的最小值为．

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14. 将一组数 $\sqrt{2}$ ， 2， $\sqrt{6}$ ， 2 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ， …，2 $\sqrt{51}$ 按图中的方法排列：
$\sqrt{2}$ ， 2， $\sqrt{6}$ ， 2 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ， 2 $\sqrt{3}$
$\sqrt{14}$ ， 4， $3 \sqrt{2}$ ， 2 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{22}$ ， 2 $\sqrt{6}$
$\sqrt{26}$ ， 2 $\sqrt{7}$ ， $\sqrt{30}$ ， 4 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{34}$ ， 6
若3 $\sqrt{2}$ 的位置记为（2，3），2 $\sqrt{7}$ 的位置记为（3，2），则这组数中最大有理数的位置记为．

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15. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{3}$ ．

(2)、 $\sqrt{3 \frac{1}{5}} \div \sqrt{1 \frac{3}{5}}$ ．

(3)、 $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{48} \div \sqrt{\frac{1}{8}}$ ．

(4)、 $\sqrt{45} \div 3 \sqrt{\frac{1}{5}} \times \frac{3}{2} \sqrt{5}$ ．

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16. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} \times \sqrt{\frac{3}{16}} \div \sqrt{50}$

(2)、 $\sqrt{3 \frac{1}{3}} \div (\frac{2}{5} \sqrt{2 \frac{1}{3}}) \times (4 \sqrt{1 \frac{2}{5}})$

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17. $\sqrt{\frac{1}{2}}$ × $\sqrt{48}$ ÷ $\sqrt{\frac{1}{8}}$ .

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18. $\sqrt{1 \frac{2}{3}}$ ÷ $\sqrt{2 \frac{1}{3}}$ × $\sqrt{1 \frac{2}{5}}$ .

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三、综合拓展

19. 阅读材料，解答下列问题：
材料：已知 $\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x} = 1$ ，求 $\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x}$ 的值．
李聪同学是这样解答的：
∵ $(\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x})$
$= {(\sqrt{15 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2}$
$= 15 - x - 8 + x = 7$
∴ $\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x} = 7$
这种方法称为“构造对偶式”
问题：已知 $\sqrt{30 - x} + \sqrt{9 - x} = 7$

(1)、求 $\sqrt{30 - x} - \sqrt{9 - x}$ 的值；

(2)、求 $x$ 的值．

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20. 阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪： $\sqrt{4 \times 25} = \sqrt{100} = 10$ ， $\sqrt{4 \times 25} = 2 \times 5 = 10$ ，
所以 $\sqrt{4 \times 25} = \sqrt{4} \times \sqrt{25}$ ．
小明： ${(\sqrt{4 \times 25})}^{2} = 4 \times 25 = 100$ ， ${(\sqrt{4 \times 25})}^{2} = {(2 \times 5)}^{2} = 100$ ．
这就说明 $\sqrt{4 \times 25}$ 和 $\sqrt{4} \times \sqrt{25}$ 都是 $4 \times 25$ 的算术平方根，而 $4 \times 25$ 的算术平方根只有一个，
所以 $\sqrt{4 \times 25} = \sqrt{4} \times \sqrt{25}$ ．
任务：

(1)、猜想：当 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ 时， $\sqrt{a b}$ 和 $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ 之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明；

(2)、运用以上结论，计算：① $\sqrt{16 \times 36}$ ；② $\sqrt{49 \times 121}$ ；

(3)、解决实际问题：已知一个长方形的长为 $\sqrt{32}$ ，宽为 $\sqrt{8}$ ，求这个长方形的面积．

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$3 \sqrt{2}$	2	$\sqrt{3}$
1		6
	3	$\sqrt{2}$