浙江省杭州市上城区2024-2025学年下学期七年级期末考试数学试卷

试卷更新日期：2025-07-28 类型：期末考试

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列数据收集过程中，适合用普查的是（）

A、五一期间来杭游客最喜爱的景点调查 B、神舟二十号发射前火箭零部件检查 C、全市学生对学校食堂满意度调查 D、某农场小麦种子单穗颗粒数调查

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3. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（）

A、 $- a^{2} - b^{2}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ C、 $a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$

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4. 如图所示，下列说法不正确的是 $($ 　　 $)$

A、线段BD是点B到AD的垂线段 B、线段AD是点D到BC的垂线段 C、点C到AB的垂线段是线段AC D、点B到AC的垂线段是线段AB

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5. 下列运算中，结果正确的是（）

A、 $4 x^{2} + 3 x^{2} = 7 x^{4}$ B、 ${(- x)}^{3 n} \div {(- x)}^{2 n} = - x^{n}$ C、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 ${(- x^{3})}^{2} = x^{6}$

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6. 如图，下列说法正确的是（）

A、若 $∠ 1 = ∠ 3$ ，则 $A C ∥ D E$ B、若 $A C ∥ D E$ ，则 $∠ 4 + ∠ 2 = 180 °$ C、若 $∠ A = ∠ 1$ ，则 $A B ∥ D F$ D、若 $A B ∥ D F$ ，则 $∠ 4 = ∠ 2$

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7. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + 1 = 1 + x^{2}$ B、 $\frac{x}{y} = \frac{x + 1}{y + 1}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{3 x}{3 y}$ D、 $\frac{- 3 x + 2}{4 y - 2} = - \frac{3 x + 2}{4 y - 2}$

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8. 2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加 $3.5$ 千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地 $3.5$ 千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的 $1.5$ 倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地 $12.5$ 分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（）

A、 $\frac{3.5}{x} = \frac{3.5}{1.5 x} - \frac{12.5}{60}$ B、 $\frac{3.5}{x} = \frac{3.5}{1.5 x} + \frac{12.5}{60}$ C、 $\frac{3.5}{x} = \frac{3.5}{1.5 x} + 12.5$ D、 $\frac{3.5}{x} = \frac{3.5}{1.5 x} - 12.5$

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9. 如图，在周长为60的长方形 $A B C D$ 中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S ，长为x ，宽为 $y (x > y)$ ，则（）

A、若 $x = 2 y$ ，则 $A D = A B$ B、若 $x = 4 y$ ，则 $A D = 2 A B$ C、若 $x = 5$ ，则 $S = 19$ D、若 $x ， y$ 为整数，则 $S = 18$

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10. 已知 $a^{m} = b$ ， $b^{n} = a^{- 1}$ ， $4^{m + n} = 8$ ，下列计算结果正确的是（）
① $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = - \frac{3}{2}$ ；② $\frac{m}{n} + \frac{n}{m} = - \frac{17}{4}$ ；③ $m^{2} + n^{2} = \frac{17}{4}$ ；④ $m^{2} - n^{2} = \frac{15}{4}$

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 写一个解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 的二元一次方程．

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12. 分解因式：x²y-4y= ．

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13. 2025年春节期间，杭州科技领域引发热议，其中人工智能“ $D E E P S E E K$ ”火爆全网，在“ $D E E P S E E K$ ”中字母“E”的出现频率是．

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14. 如图， $A C ∥ D F$ ，将一个含 $30 °$ 角的直角三角板如图放置，使点E落在直线 $D F$ 上，若 $∠ A B E = 72 °$ ，则 $∠ P E F$ 的度数为 $°$ ．

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15. 在公式 $S = \frac{1}{2} (a + b) h$ 中，将这个公式变形为已知 $S, h, a$ ，求b的公式： $b =$ ．

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16. 四张正方形纸片 $A B C D, B E F G, G F H I, C K J I$ 如图放置，使得 $D, C, K$ 三点共线．设正方形 $A B C D$ ，正方形 $C K J I$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ．
⑴若 $A B = 5, B E = 3$ ，则阴影部分的面积 $=$ ．
⑵若阴影部分的面积与 $△ J F H$ 的面积差为5，则 $S_{1} + S_{2} =$ ．

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三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：

(1)、 ${(2025 + π)}^{0} + 8 \times {(\frac{1}{2})}^{- 2}$

(2)、 $x (x + 1) + (2 - x) (2 + x)$

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18. 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“ $A I$ 学伴”计划．为了解学生对不同智能大模型的使用情况，在七、八、九三个年级随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱使用的一种人工智能软件（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图，其中 $A -$ 深度求索， $B -$ 通义千问， $C -$ 豆包， $D -$ 讯飞星火， $E -$ 其他 $A I$ ．根据图1，图2中的信息，解答下列问题：

(1)、这次调查中接受问卷调查的同学共有名；

(2)、补全条形统计图；

(3)、根据统计结果，若该校有200名学生选择B类，请估计该校选择C类学生人数．

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19. 解方程（组）

(1)、 ${\begin{array}{l} y = 3 x - 1 \\ 2 x + 4 y = 24 \end{array}$

(2)、 $\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - x}{2 - x}$

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20. 先化简再求值： $(1 - \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 0$ ．

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21. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = ∠ B$ ，点 $D, E, F$ 分别在 $A B, A C, B C$ 上，且 $D E$ 平分 $∠ A D F$ ， $D E ∥ B C$ ．

(1)、判断 $F D$ 与 $A C$ 的位置关系，并说明理由．

(2)、若 $∠ B = 50 °, ∠ D E F = 60 °$ ，求 $∠ D F E$ 的度数．

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22. 对于关于x的四个多项式 $A = x + a, B = x + b, C = x + c, D = x + d$ （ $a, b, c, d$ 是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n ，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量．
例如：对于多项式 $A = x + 1, B = x + 2, C = x + 3, D = x + 4$ ，
因为 $A \times D - B \times C = (x + 1) (x + 4) - (x + 2) (x + 3) = - 2$
所以 $A \times D - C \times B$ 这种组合为消元组合，其消元余量为 $- 2$ ．
因为 $A \times B - C \times D = (x + 1) (x + 2) - (x + 3) (x + 4) = - 4 x - 10$ ，结果不是常数；
所以 $A \times B - C \times D$ 这种组合不是消元组合．

(1)、若多项式 $A = x + 1, B = x + 4, C = x + 8, D = x + 5$ ，判断 $A \times C - B \times D$ 是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由．

(2)、若多项式 $A = x + 1, B = x - 2, C = x + 5, D = x + p$ 存在消元组合，则p的值为．

(3)、若多项式 $A = 2 x + 1, B = x + 4, C = 2 x + a, D = x + b$ 存在消元组合，求a与b的关系式．

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23. 某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克．

(1)、小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量；

(2)、水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降 $2 m$ 元/千克，梨单价上涨m元/千克．
①请用含 $a ， b ， m$ 的代数式表示搭配销售方式水果平均单价 ▲ ．
②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值．

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24. 如图1， $A B ∥ C D$ ，点E在 $A B$ 上，点H在 $C D$ 上，点F在直线 $A B, C D$ 之间，连接 $E F, F H$ ．

(1)、求证： $∠ B E F + ∠ F H D = ∠ E F H$ ．

(2)、如图2，点M在直线 $A B$ 与 $C D$ 之间，且 $M E ∥ H F$ ，若 $∠ M E F = 2 ∠ B E F, ∠ F H D = 42 °$ ，求 $∠ M E F$ 的度数．

(3)、如图3，连结 $M H$ ，移动点M至直线 $A B$ 上方，使得 $M H ∥ E F$ ，延长 $M E$ 交直线 $H F$ 于点P ，若 $∠ M H D = n ∠ P H D, ∠ E P H = \frac{180 °}{n}$ （n为整数且 $n \geq 1$ ），求 $∠ P E F : ∠ P E B$ 的值（用含n的代数式表示）．

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