浙江省丽水市莲都区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2025-07-28 类型：期末考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 计算 $202 5^{0}$ 的结果是（）

A、2025 B、1 C、0 D、 $\frac{1}{2025}$

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2. 下列方程中是二元一次方程的是（）

A、 $x y - 1 = 0$ B、 $2 x + 3 y = 4$ C、 $\frac{2}{x} - 3 y = \frac{1}{2}$ D、 $x^{2} - 2 x = 0$

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3. 人体一根头发的直径约为 $0.000052$ 米，将数字 $0.000052$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.52 \times 1 0^{- 4}$ B、 $52 \times 1 0^{- 6}$ C、 $5.2 \times 1 0^{- 6}$ D、 $5.2 \times 1 0^{- 5}$

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4. 若分式 $\frac{a + 1}{2 a - 1}$ 的值为零，则 $a$ 的值是（）

A、 $a = - 1$ B、 $a \neq - 1$ C、 $a = \frac{1}{2}$ D、 $a \neq \frac{1}{2}$

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5. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(a + 1) (a - 2) = a^{2} - a - 2$ B、 $a^{2} - 2 a - 2 = a (a - 2) - 2$ C、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ D、 $a (2 a - b) = 2 a^{2} - a b$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 $a^{3} \div a^{2} = a$

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7. 我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（）

A、最高分为100分 B、最高分与最低分的差是15分 C、参赛学生人数为8人 D、参赛学生的满分率为 $20 %$

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8. 若 $(x^{2} - m x + 1) (x - 3)$ 展开后不含 $x^{2}$ 的项，则m的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、1 C、3 D、 $- 3$

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9. 为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道 $x$ 米，可得方程 $\frac{2400}{x - 20} - \frac{2400}{x} = 6$ ．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（）．

A、每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B、每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C、每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D、每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成

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10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为焦点．若 $∠ 1 = α, ∠ 2 = β$ ，则 $∠ 3$ 的度数表示为（）

A、 $α - β$ B、 $2 α - β$ C、 $180 ° + α - β$ D、 $180 ° - α + β$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解： $2 x^{2} - x =$ ．

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12. 将 $2 x + 3 y = 2$ 变形，用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，那么 $y =$ ．

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13. 如图，将三角形 $A B C$ 沿 $B C$ 方向平移到三角形 $D E F$ 的位置，已知点 $A, D$ 之间的距离为1， $B C = 3$ ，则 $B F$ 的长是．

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14. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1至4组的频数分别为13、9、8、10，则第5组的频率是．

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15. 规定：若实数 $a, b, c$ 满足 $a^{c} = b$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1, b > 0$ ），则记作 $[a, b] = c$ ．例如： $3^{2} = 9$ ，则 $[3, 9] = 2$ ．若 $[2, 3] = m, [2, 5] = n, [2, p] = t$ ，且 $m + n = t$ ，则 $p$ 的值是．

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16. 如图，正方形 $A E H G$ ，正方形 $E B K F$ 和正方形 $N K C M$ 摆放在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 4$ ，且 $B K > K C$ ．已知正方形 $A E H G$ 与正方形 $N K C M$ 的面积之和为7，则长方形 $P F Q D$ 的面积为．

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三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程）

17.

(1)、计算： ${(- 1)}^{2} + 2^{- 1}$

(2)、化简： $x^{2} - (x + 1) (x - 1)$

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18. 解方程（组）

(1)、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 12 \\ 4 x - 2 y = - 2 \end{array}$

(2)、 $\frac{x - 1}{x - 2} = 3 - \frac{1}{2 - x}$

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19. 先化简，再求值： $\frac{3 x}{x^{2} - x} - \frac{2 x + 1}{x^{2} - x}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

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20. 某中学数学兴趣小组在开展主题为“绿色出行从我做起——学生上学方式”的调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查结果分为“私家车接送”“乘公交车”“骑自行车”“步行”四种上学方式，数据整理如下表．
上学方式
私家车接送
乘公交车
步行
骑自行车
频数
54
92
12
42
频率
$0.27$
$n$
$0.06$
$m$

(1)、本次问卷调查取样的样本容量为，表中 $m$ 的值为．

(2)、根据表中数据计算“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数．

(3)、若该中学有1500人，根据调查结果估计全校学生中“乘公交车”上学的人数．

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21. 如图， $P$ 是 $∠ A B C$ 内一点，点 $Q$ 在 $A B$ 上．过点 $P$ 画一条直线 $a$ 平行于 $A B$ ，过点 $Q$ 画一条直线 $b$ 平行于 $B C$ ，直线 $a, b$ 交于 $M$ ．

(1)、用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形．

(2)、若 $∠ P M Q = 50 °$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．

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22. 已知 $M = x^{2} - x - 1, N = 3 x^{2} - 5 x + 1$ ．

(1)、当 $N = 3 M$ 时，求 $x$ 的值．

(2)、试说明无论 $x$ 取何值时， $M ≤ N$ ．

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计门票购买方案？
素材1	乒乓球比赛的门票分为 $A, B, C$ 三个档次，购买1张 $A$ 档门票和2张 $B$ 档门票需要700元；购买2张 $A$ 档门票和3张 $B$ 档门票需要1200元；购买1张 $C$ 档门票需要80元．
素材2	购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票．
素材3	某公司计划组织30名员工观看比赛．

问题解决
任务1	求 $A$ 档和 $B$ 档门票的单价．
任务2	购买门票中， $A$ 档9张， $B$ 档11张，求公司购买门票至少需要多少元．
任务3	该公司购买门票共花了4040元，且赠送的 $C$ 档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程．

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24. 如图，将两个直角三角尺作如下摆放， $∠ E G F = ∠ M P N = 90 °, ∠ G F E = ∠ P N M = 30 °$ ，直线 $A B$ 过点 $E$ ， $M N$ 在直线 $C D$ 上， $E G$ 平分 $∠ A E F$ ．

(1)、求 $∠ B E F$ 的度数．

(2)、试判断 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系，并说明理由．

(3)、将 $△ E G F$ 绕点 $E$ 逆时针旋转，速度为每秒 $4 °$ ，同时 $△ M P N$ 绕点 $N$ 逆时针旋转，速度为每秒 $10 °$ ，记旋转时间为 $t$ ，当 $△ P M N$ 旋转一周时，整个运动停止．当 $E F$ 与 $△ M P N$ 的任意一边平行时，求出所有满足条件的 $t$ 的值．

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上学方式	私家车接送	乘公交车	步行	骑自行车
频数	54	92	12	42
频率	$0.27$	$n$	$0.06$	$m$