浙江省湖州市德清县2024-2025学年下学期七年级期末测试数学试卷

试卷更新日期：2025-07-28 类型：期末考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列方程中，属于二元一次方程的是（）

A、 $3 x + y^{2} = 1$ B、 $x - 2 y = 6$ C、 $\frac{1}{x} + 3 y = 5$ D、 $3 x - 2 = x$

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2. 2024年4月，北京大学团队研发出全球最薄的光学晶体-转角菱方氮化硼光学晶体，其厚度仅为 $0.000001$ 米，能效比传统晶体提升了100至1万倍，数据 $0.000001$ 用科学记数法表示为（　　）

A、 $0.1 \times 1 0^{- 5}$ B、 $1 \times 1 0^{- 6}$ C、 $1 \times 1 0^{- 7}$ D、 $10 \times 1 0^{- 8}$

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3. 如图，与 $∠ D$ 是同旁内角的是（）

A、 $∠ 1$ B、 $∠ 2$ C、 $∠ 3$ D、 $∠ 4$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$ B、 ${(2 x)}^{3} = 6 x^{3}$ C、 $(a^{2} b + a) \div a = a b$ D、 ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$

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5. 下列调查中，适合用抽样调查方式的是（）

A、了解七年级（1）班学生每周的体育锻炼时长 B、旅客登飞机前的安检 C、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命 D、某公司职工进行健康检查

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6. 把分式 $\frac{3 a - 4 b}{2 a b}$ 的分子分母中的a ， b都扩大为原来的2倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大为原来的2倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ D、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$

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7. 如果 ${(m - 3)}^{m} = 1$ ，那么m的值不能取（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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8. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$

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9. 小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片 $A B C D$ 沿着 $E F$ 翻折，点A ， D的对应点分别为 $A^{'}$ ， $D^{'}$ ， $A^{'} D^{'}$ 与 $C D$ 交于点G ，再将 $△ E D^{'} G$ 沿着 $C D$ 边翻折，点 $D^{'}$ 的对应点落在长方形 $A B C D$ 的内部点H处，若 $E H$ 平分 $∠ C E F$ ，则 $∠ A^{'} F B$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $40 °$ C、 $42 °$ D、 $44 °$

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10. 如图，已知正方形 $A B C D$ 与正方形 $E F G H$ 的重叠部分是长方形 $B M H N$ ，面积记为 $S_{1}$ ，四边形 $B K G M$ 与四边形 $E L B N$ 都为正方形，面积分别记为 $S_{2}$ 和 $S_{3}$ ，已知 $C M - A N = 2$ ，则下列代数式的值为定值的是（）

A、 $S_{3} - S_{1}$ B、 $S_{2} + S_{3} - 2 S_{1}$ C、 $\frac{S_{3} - S_{1}}{S_{2}}$ D、 $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3}}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 计算： $3^{- 1} =$

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12. 当 $x =$ 时，分式 $\frac{2}{1 - x}$ 无意义．

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13. 已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、五组数据的频数分别为2，8，15，5，则第四组数据的频率是．

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14. 若实数a ， b满足 $a b = - 3$ ， $a^{2} b + a b^{2} = 15$ ，则 $a + b$ 的值是．

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15. 若 $n$ 满足 ${(n - 2024)}^{2} + {(2025 - n)}^{2} = 7$ ，则 $(2025 - n) (n - 2024) =$ ．

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16. 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画， $C F$ ， $B G$ 交于点 $A$ ， $F G ∥ D E ∥ B C$ ， $∠ F A G = 40 °$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，若 $∠ A D E = 100 °$ ，则 $∠ G$ 的度数为．

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三、解答题（本题有8小题，共72分）

17. 因式分解

(1)、 $m^{2} - 4 n^{2}$

(2)、 $2 x^{2} - 12 x y + 18 y^{2}$

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18. 解方程（组）

(1)、 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 5 \\ 2 x - y = 3 \end{array}$

(2)、 $\frac{3}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 - x} = 1$

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19. 化简： $(1 - \frac{1}{1 - x}) \div \frac{x^{2} + 2 x}{1 - x}$ ，再在1，0， $- 1$ 三个数中选择适当的数为x的值代入求值．

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20. 某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为 $x + 3 y$ ，宽为 $2 x + y$ ，每个小长方形的长为 $x + y$ ，宽为 $y - x (y > x)$ ．

(1)、用含x ， y的代数式表示该零件模型的面积并化简；

(2)、当 $x = 2$ ， $y = 3$ 时，求该零件模型的面积．

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21. 某地区随机抽取部分七年级学生长跑项目的达标测试成绩，成绩记为 $7$ 分， $8$ 分， $9$ 分， $10$ 分四个等级，将结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，根据图中信息，回答下列问题：

(1)、本次共抽取学生多少人？

(2)、计算成绩为 $8$ 分的学生人数及扇形统计图中 $8$ 分区域的圆心角的度数；

(3)、若该地区共有七年级学生约 $5000$ 人，那么成绩为 $9$ 分和 $10$ 分的学生共有多少人？

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22. 如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 4 c m$ ， $A C = 3 c m$ ， $A B = 5 c m$ ．

(1)、点B到 $A C$ 的距离是 $c m$ ；点 $A$ 到 $B C$ 的距离是cm．

(2)、画出表示点C到 $A B$ 的距离的线段，并求这个距离．

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

学校奖品购买方案设计
素材1	某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件．
素材2	某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只．
素材3	学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（ $1 \leq m \leq 10$ ）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同．
问题解决
任务一	【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价．
任务二	【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量．
任务三	【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值．

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24. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $M N$ 所截， $A B ∥ C D$ ，一块含 $30 °$ 角的直角三角板 $E F G$ （ $∠ G = 90 °$ ， $∠ E F G = 30 °$ ）按如图1放置，点E ， F分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上，且 $E G ∥ M N$ ， $∠ E F N$ 的平分线 $F H$ 交直线 $A B$ 于点H ．

(1)、填空： $∠ A E G + ∠ C F G$ $∠ G$ （填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、当 $F H ∥ M N$ 时，求 $∠ M N D$ 的度数；

(3)、将三角板 $E F G$ 沿直线 $A B$ 左右移动，并保持 $E G ∥ M N$ （点F不与点N重合），设 $∠ M N D = α (0 ° < α < 90 °)$ ，在平移的过程中求 $∠ E H F$ 的度数（用含α的代数式表示）．

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