浙江省宁波市象山县文峰学校2024-2025学年七年级下学期竞赛数学试卷

试卷更新日期：2025-07-21 类型：竞赛测试

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一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1. 2025+2024-2023-2022+2021+2020-2019-2018++5+4-3-2+1=（）

A、2025 B、2024 C、1 D、0

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2. 已知4^x=18，8^y=3，则 5^2x-6y的值为（）

A、5 B、10 C、25 D、50

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3. 已知 $(x + a) (x + b) = x^{2} + c x - 8$ ，若 $a$ ， $b$ 均为整数，则 $c$ 的值不可能为（）

A、 $4$ B、 $- 2$ C、 $- 7$ D、 $7$

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4. 某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（）

A、 $\frac{3000}{x} + 30 = \frac{3000}{x (1 + 25 %)}$ B、 $\frac{3000}{x} + 30 = \frac{3000}{x (1 - 25 %)}$ C、 $\frac{3000}{x} = \frac{3000}{x (1 + 25 %)} + 30$ D、 $\frac{3000}{x} + 30 = \frac{3000}{x (1 - 25 %)} + 30$

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5. 已知a-b=b-c=2，a²+b+c²=1，则ab+bc+ac=（ )

A、-22 B、-11 C、7 D、11

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6. 光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（）

A、15° B、30° C、60° D、120°

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7. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 - 2 a \\ x - y = 4 a - 1 \end{array}$ 给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为 $S_{1}$ ，一张B纸片的面积为 $S_{2}$ ，若 $S_{1} - S_{2} = 10$ ，则图2中阴影部分面积为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9. 已知 $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = 2$ ，则分式 $\frac{3 p - p q - 3 q}{2 p + p q - 2 q}$ 为．

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10. 若 $x^{2} + x y = 17 - a ， y^{2} + x y = 8 + a$ ，则 $x + y =$ ．

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11. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：．

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12. 若关于 x，y 的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (x + y) + b_{1} (x - y) = c_{1} \\ a_{2} (x + y) + b_{2} (x - y) = c_{2} \end{array}$ 解为 ${\begin{array}{l} x = 2022 \\ y = 2023 \end{array}$ . 则关于 x，y 的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = \frac{1}{5} c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = \frac{1}{5} c_{2} \end{array}$ 的解是.

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13. 一辆车的计程车速度为55km/h，出发时它的里程表上的里程数为 $\bar{a b c}$ ， n小时（n是整数）行程结束时里程表上的里程数是为 $\bar{c b a}$ ，其中 $a \geq 1$ ， $a + b + c \leq 7$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} =$ .

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14. 如图，直线AB//CD，M，N分别为直线AB，CD上一点，且满足∠BMN=54°，P是射线MB上的一个动点（不包括端点M），将三角形 PMN沿 PN折叠，使顶点 M落在点Q处，若∠DNQ= $\frac{1}{4}$ ∠PND，则∠PND的度数为.

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三、解答题（共4题，第15题16分；第16题10分；第17题12分；第18题12分）

15.

(1)、解方程： $\frac{16}{x + 1} = \frac{4}{x - 2}$ ；

(2)、解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{3}{x + 1} = \frac{2}{y + 2} \\ 2 x + 4 y = 18 \end{array}$ ；

(3)、若 x， y>0，解方程组： ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 10 \\ x y = 1 \end{array}$ ；

(4)、因式分解： $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 2) - 12$ .

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16. 对于多项式x²+2x-3，如果我们把x=1代入此多项式，发现x²+2x-3=0，这是可以确定多项式中有因式（x-1）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-a），于是我们可以把多项式写成：x²+2x-3=（x-1）（mx+n）.

(1)、求式子中m， n的值：

(2)、以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式2x²+5x+3：

(3)、小东猜想：如果将x=a代入多项式x³-8能使x³-8=0，那么x³-8就一定能分解成如下形式（x-a）（bx+cx+d）.你认为小东的猜想是否正确？若正确，请直接写出a、b、c、d的值：若不正确，请说明理由，

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17. 根据以下素材，探索完成任务.

设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案.
素材1	已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元.
素材2	学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品
素材3	（1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本，（2）计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且a<30<b，（3）一等奖：1支水笔和1本笔记本.二等奖：1支水笔.三等奖：1本笔记本.
问题解决
任务1	确定单价	求一盒水笔和一包笔记本各多少元?
任务2	确定购买数量	将880元全部用完，可以购买水笔多少盆？笔记本多少包？（不可全买水笔或全买笔记本）
任务3	确定购买人数	任务2中购买的奖品刚好全部发完，则a= ▲ b= ▲ .

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18. 如图，点E，F分别在直线AB，CD上，P为AB，CD之间一点，连结PE，过点P作PG//EF，交CD于点G， ∠CGP=∠BEF.

(1)、如图1，求证：AB//CD；

(2)、如图2，EF平分∠PEB，H为线段GF上一点，连结PH.
①若∠FHP+∠PEF=200°求∠HPG的度数；
②如图3，HO平分∠CHP，交PG于点Q.若∠HPE=α，直接写出∠HQP的度数为（结果用含α的式子表示）

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