浙江省宁波市宋诏桥中学2024-2025学年八年级上学期数学竞赛试卷

试卷更新日期：2025-07-21 类型：竞赛测试

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1. nbsp；若关于 $x$ 的一元一次不等式组 $\{\begin{array}{l} 1 < x \leq 3 \\ x > m \end{array}$ 有解，则 $m$ 的取值范围为( )

A、 $m < 3$ B、 $m \geq 3$ C、 $m < 1$ D、 $1 \leq m < 3$

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2. 线段 $y = - \frac{1}{2} x + a (0 \leq x \leq 3)$ ，当 $a$ 的值由 -1 增加到 2 时，该线段运动所经过的平面区域的面积为( )

A、6 B、8 C、9 D、10

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3. 已知 $A = \frac{1}{1^{2} + 1} + \frac{1}{2^{2} + 2} + \frac{1}{3^{2} + 3} + \dots + \frac{1}{2023^{2} + 2023}$ ，则 $A =$ ( )

A、1 B、 $\frac{2022}{2023}$ C、 $\frac{2023}{2024}$ D、 $\frac{2021}{2022}$

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4. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, B C = 6, A C = 8$ ， $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为( )

A、6 B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{25}{3}$ D、8

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，若点 $D$ 是 $B C$ 边上的动点，则 $2 A D + D C$ 的最小值是 ( )

A、6 B、 $2 \sqrt{3} + 6$ C、 $\sqrt{3} + 3$ D、4

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6. 若 $[x + \frac{1}{100}] + [x + \frac{2}{100}] + \dots + [x + \frac{99}{100}] + [x + 1] = 356$ ，其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则 $x$ 的可取值为 ( )

A、3.54 B、3.45 C、3.44 D、3.55

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7. 若 $a > 0$ ，则 $a + \frac{1}{a}$ 的最小值为.

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8. 对于三个数 $a, b, c$ ，用 $m i n {a, b, c}$ 表示这三个数中最小的数. 例如： $m i n {- 1, 2, 3} = - 1, m i n {- 1, 2, a} = \{\begin{array}{l} a, a \leq - 1 \\ - 1, a > - 1 \end{array}$ ，则对于任意的 $x$ ， $m i n \{2 x, x + 2, - \frac{3}{2} x + 12\}$ 的最大值为.

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9. 五个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，过 $(a, 0), (3, 3)$ 的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则 $a$ 的值是.

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 13, A B = 24, D$ 是 $A B$ 边上的一个动点，点 $E$ 与点 $A$ 关于直线 $C D$ 对称，当 $△ A D E$ 为直角三角形时， $A D$ 的长为.

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11. 如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A, B$ 两点，点 $C$ 是第二象限内一点，连结 $C B$ ，若 $∠ C B A = 45^{\circ}$ ，则直线 $B C$ 的解析式为.

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12. 已知 $a, b, b, d$ 都是整数，且 $a < 2 b, b < 3 c, c <$ $4 d, d < 50$ ，那么 $a$ 的最大值是.

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13. 解不等式： $|x - 4| + |x + 5| \geq 11$

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14. 若实数 $a 、 b$ 满足 $3 \sqrt{a - 1} + 5 |b| = 7, S = 2 \sqrt{a - 1} - 3 |b|$ ，求 $W = 9 S + 3$ 的最大值与最小值.

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15. 定义：两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇妙三角形.

(1)、判断：等边三角形是否一定是奇妙三角形？

(2)、在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, A B = c, A C = b, B C = a$ ，且 $b > a$ ，若 Rt $△ A B C$ 是奇妙三角形，求 $a : b : c$ 的值；

(3)、如图，以 $A B$ 为斜边分别在 $A B$ 的两侧作直角三角形，且 $A D = B D$ ，若四边形 $A D B C$ 内存在点 $E$ ，使得 $A E = A D, C B = C E$ .
①求证： $△ A C E$ 是奇妙三角形；
② 当 $△ A C E$ 是直角三角形时，求 $∠ D B C$ 的度数.

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