广东省深圳外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2025-07-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ B、 ${(- a^{2} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ C、 ${(- a + b)}^{2} = - a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 $60 °$ ， $90 °$ ， $210 °$ .让转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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4. 图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的简易图，座位 $A D$ 和座椅靠背 $A E$ 的夹角 $∠ D A E = 100 °$ ，小桌板 $B C$ 与座位 $A D$ 平行，小桌板支撑杆 $A B$ 与桌面 $B C$ 的夹角 $∠ A B C = 125 °$ ，则座椅靠背 $A E$ 与小桌板支撑杆 $A B$ 形成的夹角 $∠ E A B$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $20 °$ C、 $15 °$ D、 $10 °$

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5. 下列说法不正确的是（）

A、锐角三角形中每个内角都小于 $90 °$ 是必然事件 B、翻开数学课本，恰好翻到30页是随机事件 C、竹篮打水属于不可能事件 D、在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行是必然事件

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6. 如图，两个边长相等的正方形 $A B C D$ 和 $E F G H$ ，将正方形 $E F G H$ 的顶点E与正方形 $A B C D$ 的中心重合，正方形 $E F G H$ 绕点E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为 $θ (0 ° \leq θ \leq 360 °)$ ，两个正方形重叠部分的面积为S，则变量S与θ的关系大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图， $△ A B E$ 和 $△ A D C$ 是 $△ A B C$ 分别沿着 $A B ， A C$ 边翻折形成的， $C D$ 与 $B E$ 交于点O，若 $∠ 1 ： ∠ 2 ： ∠ 3 = 13 ： 3 ： 2$ ，则 $∠ D O E$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $90 °$ C、 $85 °$ D、 $80 °$

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8. 如图在四边形 $A B C D$ 中 $A D ∥ B C$ ， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ， $△ D B C$ 面积为 24， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点M，N，若点P和点Q分别是线段 $M N$ 和 $B C$ 边上的动点，则 $P B + P Q$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

9. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则 $n =$ ．

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10. 某商场自行车存放处每周存车量5000辆次，其中变速车车费是每辆一次1元，普通车存车费每辆一次0.5元，若普通车存车量为 $x$ 辆次，存车的总收入为 $y$ 元，则 $x$ 和 $y$ 之间的关系式为.

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11. 若 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 5$ ，则 $a^{2 m - n} =$ ．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C ， B D = A D = 5 ， D F ⊥ A C$ ，垂足为 $F ， D F = 4$ ，则 $A B$ 的长为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 为边向上作正方形 $A G F B$ 、正方形 $B C D E$ 、正方形 $A C M N$ ，点E在 $F G$ 上，若 $A C = 6$ ， $B C = 10$ ，则图中阴影的面积为．

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三、解答题

14. 计算：

(1)、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(- 1)}^{2} \times {(π - 2025)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ；

(2)、 $a^{2} \cdot a^{4} + {(- 2 a^{2})}^{3} - a^{8} \div a^{2}$ ．

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15. 先化简，再求值∶ $[(2 x + y) (2 x - y) - {(2 x - y)}^{2}] \div (- 2 y)$ ，其中 ${(x + 1)}^{2} + | y - 2025 | = 0$ ．

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16. 背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低(特别是二氧化碳的)排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题：
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 耗电量 $(K W · h) \times 0.785$
开私家车的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 耗油量 $(L) \times 2.7$
家用天然气的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 天然气使用量 $(m ³) \times 0.19$
家用自来水的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 自来水使用量 $(t) \times 0.91$

(1)、若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为．

(2)、在上述关系中，耗油量每增加 $1 L$ ，二氧化碳排放量就增加 $k g$ ；当耗油量从 $3 L$ 增加到 $8 L$ 时，二氧化碳排放量就从 $k g$ 增加到 $k g$ ．

(3)、小明家本月家居用电约 $110 k W · h$ ，天然气 $20 m ³$ ，自来水 $5 t$ ，开私家车耗油 $75 L$ ，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和．

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17. 尺规作图题

(1)、图1，校园一角的形状如图所示，其中 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)

(2)、图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角 $∠ A O B$ ． (保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E是 $B C$ 边上两点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为腰作等腰直角 $△ A D F$ ， $∠ A D F = 90 °$ ，作 $F E ⊥ B C$ 于点E， $F E = C E$ ，作 $A G ⊥ B C$ 于点G．

(1)、证明∶ $△ A D G ≌ △ D F E$ ；

(2)、若 $B D = 2$ ， $C E = 5$ ，求 $S_{△ C D F}$ 的大小．

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19. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)、若要拼出一个面积为 $(a + 2 b) (a + b)$ 的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片张．

(2)、根据所学知识，解决如下问题：
已知： $a + b = 7$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ， $a b$ 的值为；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 $(6 - x) (x - 2) = 3$ ．求 ${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值，怎么解决呢？
小英给出了如下两种方法：
方法1∶ 设 $6 - x = m ， x - 2 = n$ ，则 $(6 - x) (x - 2) = m n = 3 ， m + n = 6 - x + x - 2 = 4$ ；
${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ ，
$= m^{2} + n^{2}$ ，
$= {(m + n)}^{2} - 2 m n$ ，
$= 4^{2} - 2 \times 3$ ，
$= 16 - 6$ ，
$= 10$ ；
方法2：
∵ $(6 - x) (x - 2) = 3$ ，
$∴ 6 x - 12 + 2 x - x^{2} = 3$ ，
$∴ x^{2} - 8 x = - 15$ ，
${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$
$= 36 - 12 x + x^{2} + x^{2} - 4 x + 4$
$= 2 x^{2} - 16 x + 40$
$= 2 (x^{2} - 8 x) + 40$
$= 2 \times (- 15) + 40$
$= - 30 + 40$
$= 10$ ．

(3)、任务：
请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ${(x - 25)}^{2} + {(23 - x)}^{2} = 10$ ，求 $(x - 25) (23 - x)$ 的值．

(4)、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 14$ ， $B C = 6$ ， E ， F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C ， C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C E M N ，$ 若长方形 $C E P F$ 的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为．

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20.

(1)、【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在 $△ A B C$ 中，CM为 $△ A B C$ 的中线，若 $A C = 3 ， B C = 5$ ，求 $C M$ 的取值范围．
倍长中线法：如图2，延长 $C M$ 至点D，使得 $M D = C M$ ，连结 $B D$ ，可证明 $△ A C M ≌ △ B D M$ ，由全等得到 $B D = A C = 3$ ，从而在 $△ B C D$ 中，根据三角形三边关系可以确定 $C D$ 的范围，进一步即可求得 $C M$ 的范围为；

(2)、【实践应用】为了测量学校旗杆 $A B$ 和教学楼 $C E$ 顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面 $B C$ 的中点D，用测角仪测得此时 $∠ A D E = 90 ° ， A B ⊥ B C ， C E ⊥ B C ，$ 测得旗杆高度 $A B = 10 m$ ，教学楼高度 $C E = 20 m$ ，则 $A E$ 的长为m；

(3)、【拓展探究】如图4，C为线段 $A B$ 上一点， $A C > B C$ ，分别以 $A C 、 B C$ 为斜边向上作等腰 $R t △ A C D$ 和等腰 $R t △ C B E$ ， M为 $A B$ 中点，连结 $D M ， E M ， D E$ ．
① 判断 $△ D M E$ 的形状，并证明；
② 若将图4中的等腰 $R t Δ C B E$ 绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结 $A B$ ， M为 $A B$ 中点，且D，E在 $A B$ 同侧，连结 $D M ， E M$ ．若 $A D = \frac{5}{3}$ ， $E B = 1$ ，则 $△ D A M$ 与 $△ E B M$ 的面积之差为 ▲ ．

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