浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学2025年七年级下册数学培优联考试卷

试卷更新日期：2025-07-16 类型：竞赛测试

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一、填空题（每题4分，共18小题，满分72分)

1. 若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 4 x + 5 y = 10 \\ k x - (k - 1) y = 8 \end{array}$ 中y的值比x的相反数大2，则k =.

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2. 如图，在长方形ABCD中，放入6个形状和大小完全相同的长方形，所标注尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为（）cm².

A、57 B、55 C、53 D、51

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3. 若关于x ， y的方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 的解为 ${\begin{cases} x = 4 \\ y = 5 \end{cases}$ ，则关于x ， y方程组 ${\begin{cases} 2 a_{1} x - b_{1} y = c_{1} \\ 2 a_{2} x - b_{2} y = c_{2} \end{cases}$
的解为．

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4. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为杨辉三角. 观察杨辉三角与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为 $C_{1} = 1 + 1 = 2$ ，第二个展开式中各项系数的和为 $C_{2} = 1 + 2 + 1 = 4$ ，第三个展开式中各项系数的和为 $C_{3} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8$ ， ……第n个展开式中各项系数的和为 $C_{n}$ ，根据图中各式的规律，则 $\frac{C_{2024}}{C_{2023}}$ 的值为.

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5. 如果整数 x，y，z 满足 $(\frac{15}{8})^{x} \cdot (\frac{16}{9})^{y} \cdot (\frac{27}{10})^{z} = 16$ ，则代数式 $\frac{2 x + y}{x - y}$ 的值为.

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6. 购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需元．

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7. 试确定关于x，y的方程x³+6x²+5x=y3-y+2的整数解的个数为.

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8. 牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供 $10$ 头牛吃 $20$ 天，可供 $15$ 头牛吃 $10$ 天，如果饲养 $25$ 头牛天可以把牧场上的草吃完．

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9. 已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x²+x²y-4xy²-4y²=0，则长方形的面积为.

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10. 若 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， ... $m_{2024}$ 是从 0，1，2 这三个数中取值的一列数，若 $m_{1} + m_{2} + \dots + m_{2024} = 1526$ （ $m_{1} - 1)^{2} + (m_{2} - 1)^{2} + \dots + (m_{2024} - 1)^{2} = 1510$ ，则在 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， ... $m_{2024}$ 中，取值为 2 的个数为.

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11. 已知关于x和y的方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 6 \\ 2 x - a y = 0 \end{array}$ 有正整数解，整数a的值为.

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12. 如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为.

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13. a²+b² =1，c²+d²=1，且ac+bd=0，则ab+cd的值为.

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14. 已知实数x，y满足 $- x^{2} + \frac{7}{2} x + y - 3 = 0$ ， $x - 2 y$ 的最大值为.

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15. 已知质数p，q满足 $3 p + 5 q = 31$ ，则 $\frac{p}{3 q + 1}$ 的最大值是.

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16. 已知长方形的周长为30cm，两邻边长分别为xcm和ycm，且满足x²-4xy+4y²=0，此长方形的面积为.

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17. 已知：多项式3x²+5x²+bx+a能被多项式x²-5x+6整除，则a+b的值为.

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18. 求和符号“ $\sum_{k = i}^{n} k$ ”（其中 $i \leq n$ ，且i和n表示正整数），例如：
$\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + (n - 1) + n$ ， $\sum_{k = 5}^{n} (x + k) = (x + 5) + (x + 6) + (x + 7) + ⋯ + (x + n)$ ，
若 $\sum_{k = 2}^{n} (x - k) (x + k) = 3 x^{2} + m$ ，则 $m + n =$ .

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二、解答题（共3题，满分 28分)

19. 因式分解：

(1)、6x²-5xy-6y²+2xz+23yz-20z²

(2)、(2x-3y)³+ (3x-2y)³—125 (x-y)³

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20. 如图，直线 l 分别与直线 AB，CD 相交于点 E、F， $A B ∥ C D$ ，点 P 是射线 EA 上的一个动点，点 P、E 不共点，连结 PF. 点 N 与点 E 关于直线 PF 对称. 当 $∠ C F N = \frac{1}{3} ∠ C F P = \frac{1}{3} β$ 时，试求出 $∠ P F E$ 的度数.

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21. 用S(m)表示自然数n的各位数字之和，如S(1)=1，S(12)=3，S(516)=12，……，试问是否存在这样的自然数，使得n+S(n)=2015？请说明理由.

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