广东省深圳市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2025-07-16 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日 $- 8$ 月11日在法国巴黎如期举行.以下是巴黎奥运会部分比赛项目的图标，其中是中心对称图形的是( )

A、皮划艇 B、柔道 C、游泳 D、击剑

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2. 下列因式分解正确的是( )

A、 $(m + n)^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}$ B、 $a^{2} + 3 a + 2 = a (a + 3) + 2$ C、 $- x^{3} - x = - x (x + 1)$ D、 $x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 60 °$ ， $∠ A = 50 °$ ，分别以点A、B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线 $M N$ 交 $A C$ 点D，连接 $B D$ ，则 $∠ C B D$ 的大小是（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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4. 不等式 $x + 1 \leq 3$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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6. 如图，AB、CD是两面平行放置的平面镜，一束光线MP在点P处经平面镜CD反射后得到光线PN，PN在点N处经平面镜AB反射后得到光线NQ，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，若 $∠ M P N = 70^{\circ}$ ，则 $∠ 4$ 的度数为( )

A、 $35^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $50^{\circ}$ D、 $55^{\circ}$

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7. 某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动，甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点，若设乙同学的速度是xm/min，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1400}{1.1 x} - \frac{900}{x} = 7$ B、 $\frac{900}{x} - \frac{1400}{1.1 x} = 7$ C、 $\frac{900}{1.1 x} - \frac{1400}{x} = 7$ D、 $\frac{1400}{x} - \frac{900}{1.1 x} = 7$

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8. 如图，将 $R t △ A B C$ 绕点A按顺时针旋转一定角度得到 $R t △ A D E$ ，点的对应点D恰好落在BC边上.若 $A C = 6 \sqrt{3}$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ，则CD的长为( )

A、3 B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、 $12 - 3 \sqrt{3}$

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

9. 如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE，连接BE，AC，相交于点F，则 $∠ B F C$ 的度数是.

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10. 若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为零，则 $x$ 的值是．

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11. 如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为.

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， BD是 $∠ A B C$ 的角平分线，点D在AB的垂直平分线上，若 $A D = 6$ ，则 $C D =$ .

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13. 为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基地．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形且 $m > n$ ，其中重叠部分B为池塘，阴影部分 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若 $m + n = 10$ ， $m n = 16$ ，则 $S_{1} - S_{2} =$ ．

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三、解答题：本题共7小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

14. 分解因式：

(1)、 $6 x^{2} y^{3} + 15 x y^{2} z$ ；

(2)、 $m (n - 1) + (1 - n)$ ．

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15. 已知 $A = \frac{x + 1}{x - 1}, B = \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}, C = \frac{x - 2}{2 x - 4} .$ 先在A，B，C中任选2个分式用除号“ $\div$ ”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C的坐标分别为 $(2,5)$ ， $(- 1,1)$ ， $(4,2)$ ，将 $△ A B C$ 向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到 $△ A' B' C' .$

(1)、画出平移后的 $△ A' B' C'$ 并写出 $A'$ ， $B'$ ， $C'$ 的坐标；

(2)、 $△ A' B' C'$ 内部一点 $P'$ 的坐标为 $(a, b)$ ，写出平移前点 $P'$ 的对应点P的坐标.

(3)、连接线段 $A' C$ ，请在x轴上找一点G，使得 $△ A' C' G$ 的面积为8，直接写出满足条件的点G坐标.

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17. 某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元.

(1)、求每台A型和B型打印机的销售利润；

(2)、商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为w元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？

(3)、在 $(2)$ 的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元 $(0 < m < 100)$ ，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案.

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18. 已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点D，E分别是BC，AD的中点， $A F / / B C$ ，交CE的延长线于 $F .$

(1)、求证：四边形AFBD为平行四边形；

(2)、求四边形AFBD的面积.

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19. 【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图.
【主题】如何接到最佳温度的温水.
【素材】水杯容积： $700 m l .$
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量.即：开水体积 $\times$ 开水降低的温度=温水体积 $\times$ 温水升高的温度.
生活经验：饮水最佳温度是 $35^{\circ} C \sim 38^{\circ} C ($ 包括 $35^{\circ} C$ 与 $38^{\circ} C)$ ，这一温度最接近人体体温.
【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满700ml的水杯为止.
$($ 备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况 $.)$
【问题】

(1)、接到温水的体积是ml，接到开水的体积是ml； $($ 用含x的代数式表示 $)$

(2)、若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？

(3)、若水杯接满水后，水杯中温度是 $50^{\circ} C$ ，求x的值；

(4)、记水杯接满水后水杯中温度为 $y^{\circ} C$ ，则y关于x的关系式是；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是.

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20. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中 $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = ∠ E = 30^{\circ} .$

(1)、【操作发现】
如图2，固定 $△ A B C$ ，使 $△ D E C$ 绕点C旋转，点D恰好落在AB边上时，填空：
① $∠ D E C =$ ；
②设 $△ B D C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A E C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系是.

(2)、【猜想论证】
当 $△ D E C$ 在如图3所示的位置时，小明猜想 $(1)$ 中 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 $△ B D C$ 和 $△ A E C$ 中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

(3)、【拓展探究】
已知 $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，点D是角平分线上一点， $B D = C D$ ， $D E / / A B$ 交BC于点 $E ($ 如图 $4) .$ 若在射线BA上存在点F，使 $S_{△ D C F} = S_{△ B D E}$ ，请求出 $∠ B D F$ 的度数.

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