广东省东营市广饶县2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题

试卷更新日期：2025-07-11 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出答案超过一个均记零分．

1. 下列方程中，是二元一次方程的是（　　）

A、 $5 x - 2 y = 4 z$ B、 $3 x y + 9 = 0$ C、 $\frac{1}{x} + 2 y = 6$ D、 $8 x = \frac{y - 2}{4}$

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2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $a (x - y) = a x - a y$ B、 $x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1)$ C、 $(x + 1) (x + 3) = x^{2} + 4 x + 3$ D、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$

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3. 下列所学过的真命题中，是基本事实的是（）

A、两直线平行，内错角相等 B、同位角相等，两直线平行 C、三角形两边之和大于第三边 D、同角的余角相等

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4. 已知关于x与y的方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = m + 1 \\ 4 x + 3 y = 2 m - 1 \end{array}$ 的解满足 $x + y > 0$ ，则m应满足（）

A、 $m > 2$ B、 $m < 2$ C、 $m > - 2$ D、 $- 2 < m < 2$

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5. 如图，若直线 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 38 °$ ， $∠ 3 = 68 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $38 °$ B、 $34 °$ C、 $32 °$ D、 $30 °$

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6. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　）

A、10° B、15° C、20° D、25°

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7. 如图， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$ 的度数（）

A、 $180 °$ B、 $210 °$ C、 $360 °$ D、 $270 °$

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8. 甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑 $x$ 米，乙每分钟跑 $y$ 米，根据题意，列出方程组正确的是（）

A、 $\{\begin{cases} 60 x + 60 y = 400 \\ 300 x - 300 y = 400 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} x + y = 400 \\ 5 x - 5 y = 400 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} 60 x + 60 y = 400 \\ 300 y - 300 x = 400 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} x + y = 400 \\ 5 y - 5 x = 400 \end{cases}$

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9. 在探究证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”的是（）

A、如图①，过点 $C$ 作 $E F ∥ A B$ B、如图②，延长 $A C$ 到 $F$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ C、如图③，过 $A B$ 上一点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ ， $D F ∥ A C$ D、如图④，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的平分线 $A E, B F$ 相交于点O， $A E$ 交 $B C$ 于点E， $B F$ 交 $A C$ 于点F，过点O作 $O D ⊥ B C$ 于D，下列三个结论：① $∠ A O B = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ C$ ；②若 $O D = a, A B + B C + C A = 2 b$ ，则 $S_{△ A B C} = a b$ ；③当 $∠ C = 60 °$ 时， $A F + B E = A B$ ．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．

11. 小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为．

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12. 关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} 4 x - 3 \geq 2 x - 5 \\ x + 2 < m + 6 \end{matrix}$ 有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．

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13. 如图，将一张长方形纸片沿 $E F$ 折叠后，点 $D$ 、 $C$ 分别落在点 $D^{'}$ 、 $C^{'}$ 的位置， $E D^{'}$ 的延长线与 $B C$ 相交于点 $G$ ，若 $∠ E F G = 63 °$ ，则 $∠ 1 =$ ．

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14. 如图所示， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $∠ 1 = 25 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3 =$

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15. 已知 $a ， b ， c$ 为 $△ A B C$ 三边的长，若 $b^{2} + 2 c^{2} + a^{2} = 2 c (a + b)$ ，则 $△ A B C$ 的形状为．

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16. 10年前，小明的爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明的2倍，则小明现在的年龄是

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17. 如图，在直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 2, 0)$ ，若动点 $P$ 从坐标原点出发，沿 $y$ 轴正方向匀速运动，运动速度为1 $cm / s$ ，设点 $P$ 运动时间为 $t$ 秒，当 $△ A B P$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形时， $t$ 的值为．

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18. 已知： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ； $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；…； $\frac{1}{(n - 1) \times n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$ ．
请你根据上式中包含的规律，则不等式 $\frac{x}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \dots + \frac{x}{(n - 1) n} > n - 1$ 的解集是．

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三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19. （ $1$ ）解方程组 $\{\begin{array}{l} \frac{x - 1}{6} - \frac{2 - y}{3} = 1 \\ 2 x + y = 13 \end{array}$ ．
（ $2$ ）解不等式组 $\{\begin{matrix} 4 (x - 1) > 3 x - 2 \\ \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 1}{3} \geq 1 \end{matrix}$ ．

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20. 分解因式．

(1)、 $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x$ ；

(2)、 $x^{2} (3 x - 2) + (2 - 3 x)$

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21. 如图，已知锐角 $△ A B C$ ， $∠ B = 50 °$ ．请用尺规作图法，在 $△ A B C$ 内部求作一点P，使 $P B = P C$ ，且 $∠ P B C = 25 °$ （保留作图痕迹，不写做法）．

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22. 【项目背景】《中华人民共和国保守国家秘密法》是规范围家秘密保护的基础性法律，首次颁布于 $1988$ 年，历经了 $2010$ 年和 $2024$ 年两次重大修订，最新修订版本于 $2024$ 年 $5$ 月 $1$ 日起实施，今年 $5$ 月 $1$ 日是该部法律实施一周年纪念日，某校为了解同学们对该部法律的了解情况，选取了部分同学进行调查．
【数据的收集与整理】
该校道德与法治老师从七、八年级中各随机抽取了相同人数的学生进行答卷测评将抽查学生的成绩进行如下分组：
组别
$A$
$B$
$C$
$D$
$x$
$x \geq 80$
$70 \leq x < 80$
$60 \leq x < 70$
$x < 60$
并将抽查学生的成绩制成如下的统计图表：
八年级学生测试成绩频数分布表
组别
频数
频率
$A$
$6$
$b$
$B$
$9$
$0.45$
$C$
—

$D$
$1$
$0.05$
七年级 $B$ 组学生成绩（单位：分）为 $78 ， 72 ， 75 ， 72 ， 74 ， 79 ， 78$ ．
【数据分析与应用】
任务 $1$ ：本次抽查的七、八年级学生共多少人？ $a$ 的值是多少？
任务 $2$ ：该校七年级共 $480$ 人，请估计七年级全体学生对法律了解情况是 $B$ 组别的学生数量；
任务 $3$ ：从七年级 $A$ 组学生中选取 $1$ 名男生和 $1$ 名女生，从八年级 $A$ 组学生中选取 $1$ 名男生和 $2$ 名女生组成《中华人民共和国保守国家秘密法》宣讲团，某天该校从宣讲团中任选一名同学到六年级宣讲该法律，求抽到的同学是女生的概率．

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23. 如图，直线 $l_{1} : y = 2 x + 1$ 与直线 $l_{2} : y = m x + 4$ 相交于点 $P (1, b)$ ，与 $x$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求 $b ， m$ 的值，并结合图象写出关于 $x ， y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = - 1 \\ m x - y = - 4 \end{array}$ 的解；

(2)、根据图象，直接写出关于 $x$ 的不等式 $2 x + 1 \geq m x + 4$ 的解集；

(3)、求 $△ A B P$ 的面积．

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24. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．
应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？
解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得

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25. 利用三角形全等测距离．

任务1	目测出操场上与你距离相等的两个点
方案	第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点；第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点．
示意图
原理	∵ $A C ⊥ B F$ ， $D E ⊥ B F$ ， ∴ $∠ A C B =$ ______ $= 90 °$ ，又∵ $A C = D E$ ， $∠ B A C = ∠ F D E$ ， ∴ $△ A B C ≌ △ D F E$ （______），∴ $B C =$ ______．
任务2	测量输电线路长度任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图．
方案	第一步：______；第二步：______；（可适当添加步骤）……
示意图（请按方案补充完整）

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26. 问题情境：如图①， $A B ∥ C D$ ， $∠ P A B = 130 °$ ， $∠ P C D = 120 °$ ，求 $∠ A P C$ 度数．小明的思路是：过P作 $P E ∥ A B$ ，通过平行线性质来求 $∠ A P C$ 的度数．

(1)、按小明的思路，易求得 $∠ A P C$ 的度数为______度；

(2)、问题迁移：如图②， $A B ∥ C D$ ，点P在射线 $O M$ 上运动，记 $∠ P A B = α$ ， $∠ P C D = β$ ．
①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出 $∠ A P C$ 与α，β之间的数量关系；
②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出 $∠ A P C$ 与α，β之间的数量关系；

(3)、问题解决：
如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且 $A F ∥ D E$ ， $∠ B = ∠ B C D + 5 °$ ， $∠ D = 95 °$ ，那么 $∠ B$ 与 $∠ C G F$ 有什么关系？请说明．

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组别	$A$	$B$	$C$	$D$
$x$	$x \geq 80$	$70 \leq x < 80$	$60 \leq x < 70$	$x < 60$

组别	频数	频率
$A$	$6$	$b$
$B$	$9$	$0.45$
$C$	—
$D$	$1$	$0.05$