2025届上海市宝山区高考二模数学试卷

试卷更新日期：2025-04-22 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）．

1. $i$ 是虚数单位，则 $|1 + i| =$ ．

查看试题解析
2. 已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ .

查看试题解析
3. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程是

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 ， x < 1, \\ f (x - 2) ， x \geq 1. \end{array}$ 则 $f (4)$ =.

查看试题解析
5. 若函数 $f (x) = (m - 1) x^{2} + 3 x + (2 - n)$ 是奇函数，则 $m + n$ =

查看试题解析
6. ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 项的系数为.

查看试题解析
7. 已知函数 $y = a^{x + 1} - \log_{a} (x + 2) + 1_{} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像经过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为

查看试题解析
8. 已知圆柱的底面积为 $9 π$ ，侧面积为 $18 π$ ，则该圆柱的体积为.

查看试题解析
9. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $S_{△ A C D} = 2 S_{△ A B D}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值为.

查看试题解析
10. 有 $3$ 件商品的编号分别为 $i (i = 1, 2, 3)$ ，它们的售价（元） $S (i) \in \{5, 7, 8, 10, 11, 20\}$ ，且满足 $S (1) \leq S (2) \leq S (3)$ ，则这 $3$ 件商品售价的所有可能情况有种.

查看试题解析
11. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为 $x$ 元 $（ 8 \leq x \leq 11 ）$ 时，一年的销售量为 $（ 12 - x ）^{2}$ 万件，则每件产品售价为元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元）

查看试题解析
12. 空间中有相互垂直的两条异面直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，点 $A 、 B \in l_{1},_{} C 、 D \in l_{2}$ ，且 $A B = 4, C D = 1$ ，若 $D A ⊥ D B$ ，且 $A C = B C + 2$ ，则二面角 $D - A B - C$ 平面角的余弦值最小为.

查看试题解析

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）.

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (3, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
14. “ $a > b$ ”的一个必要非充分条件是（）

A、 $\ln (a - b) > 0$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a - b} \leq 1$ D、 $a^{3} > b^{3}$

查看试题解析
15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（）

A、甲得分的极差小于乙得分的极差 B、甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C、甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D、甲得分的方差小于乙得分的方差

查看试题解析
16. 若对任意正整数 $n$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 都是完全平方数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = {(n - t)}^{2}$ ，（ $t$ 为正整数），则使得数列 $\{|b_{n}|\}$ 为“完全平方数列”的 $t$ 值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（）

A、①是真命题， ②是真命题； B、①是真命题， ②是假命题； C、①是假命题， ②是真命题； D、①是假命题， ②是假命题.

查看试题解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）．

17. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的正三角形，且 $A B = A D = \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $B C$ 的中点，且二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ ，求 $A E$ 与平面 $B C D$ 所成角的大小.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、若 $f (2) = 4$ ，求方程 $f (x) - f (- x) = 2$ 的解；

(2)、已知 $0 < a < 1$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (m x)]}^{2} \geq f (x^{2} + 1) \cdot f (x + 3)$ 在区间 $[1, 2]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

查看试题解析
19. 某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量 $x$ （个）和游客平均等待时间 $y$ （分钟/个）的关系：
项目类别
体验类
演出类
互动类
开放数量 $x$ （个）
4
5
6
7
8
2
4
2
3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）
76
73
67
m
60
53
30
46
30

(1)、体验类项目中，若 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $y = - 4.3 x + 93.8$ ，请计算 $m$ 的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；

(2)、小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；

(3)、为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为 $p$ ，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.

查看试题解析
20. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1_{} ， F_{1} 、 F_{2}$ 分别是其左、右焦点，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A 、 B$ 两点.

(1)、当直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，且 $|A B| = 6$ 时，求 $△ A B F_{1}$ 的周长；

(2)、已知点 $N (- 2, 3)$ ，若直线 $A N 、 B N$ 的斜率之和为 $0$ ，且 $\tan ∠ A N B = \frac{4}{3}$ ，当 $A N 、 B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $R 、 S$ 时，求 $△ R S N$ 的面积；

(3)、已知直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点且位于第一象限，且满足 $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ 的点 $Q$ 在线段 $A B$ 上，若 $\vec{A B} = 2 \vec{Q F_{2}}$ ，求点 $P$ 的坐标.

查看试题解析
21. 定义在 $D$ 上的可导函数 $y = f (x)$ ，集合 $A_{(k, m)} = \{f (x) | F (x_{i}) = k, x_{i} \in D,$ $i = 1, 2, \dots, m,$ $m$ 为正整数 $}$ ，其中 $F (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 称为 $f (x)$ 的自和函数， $x_{i}$ 称为 $y = f (x)$ 的固着点. 已知 $f (x) = a e^{x} + b x + c sin x (a, b, c \in R)$ .

(1)、若 $a = c = 0, b = 2, D = R$ ， $f (x) \in A_{(1, m)}$ ，求 $m$ 的值及 $y = f (x)$ 的固着点；

(2)、若 $a = 0, b = 1, c = 1, D = [s, t] (s > 0)$ ， $F (x)$ 是 $f (x)$ 的自和函数，且 $F (x)$ 在 $D$ 上是严格增函数，求 $t - s$ 的最大值；

(3)、若 $b = - 1, c = 0, D = (0, + \infty)$ ， $f (x) \in A_{(0, 1)}$ ，且 $t$ 是 $y = f (x)$ 的固着点，求 $a$ 的取值范围，并证明： $\frac{1}{2 a} < e^{t} < \frac{1}{a^{2}}$ .

查看试题解析

项目类别	体验类					演出类		互动类
开放数量 $x$ （个）	4	5	6	7	8	2	4	2	3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）	76	73	67	m	60	53	30	46	30