四川省遂宁市2025年中考数学真题试题

试卷更新日期：2025-06-19 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“ $+ 20$ 米”，那么向西跑20米记为（）

A、 $+ 20$ 米 B、 $- 20$ 米 C、 $+ 40$ 米 D、 $- 40$ 米

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2. 汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（）

A、 $150 \times 1 0^{8}$ B、 $15 \times 1 0^{9}$ C、 $1.5 \times 1 0^{10}$ D、 $1.5 \times 1 0^{11}$

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4. 如图，圆柱的底面直径为AB ，高为AC ，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列运算中，计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} - 3 x^{2} = x^{2}$ B、 $(- 2 x)^{3} = - 6 x^{3}$ C、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ D、 $(x + 1)^{2} = x^{2} + 1$

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6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m + 1 = 0$ 有实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < \frac{5}{4}$ B、 $m \geq \frac{5}{4}$ C、 $m > \frac{5}{4}$ D、 $m \leq \frac{5}{4}$

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7. 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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8. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3 - a x}{2 - x} = \frac{a}{x - 2} - 1$ 无解，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、3 C、0或2 D、 $- 1$ 或3

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9. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A B = 13, B C = 5$ ，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段 $A Q$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、6 D、 $\frac{120}{13}$

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a 、 b 、 c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）的对称轴是直线 $x = 1$ ，且抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标是 $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交点坐标是 $(0, m)$ 且 $2 < m < 3$ ．有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $9 a - 3 b + c > 0$ ；③ $\frac{9}{4} < y_{最大值} < \frac{27}{8}$ ；④关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c - 2 = 0$ 必有两个不相等实根；⑤若点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，
且 $n < x_{1} < n + 1 < x_{2} < n + 2 < x_{3} < n + 3$ ，当 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ 时，则 $n$ 的取值范围为 $- \frac{3}{2} < n < 0$ ．
其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 $m + 1$ 0．（填“>”“=”或“<”）

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12. 已知 $x = 2$ 是方程 $3 a - 2 x = 2$ 的解，则 $a =$ ．

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13. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：
项目
应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
8
经验
8
6
9
能力
7
8
8
态度
5
7
5
公司将学历、经验、能力和态度得分按 $2 : 1 : 3 : 2$ 的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）

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14. 综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为．

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15. 如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E ，使 $∠ B A E = 15 °$ ，连结CE并延长至点F ，连结BF ，使 $B F = B C$ ， CF与AB相交于点H ．有下列结论：
① $A E = C E$ ；② $B E + A E = E F$ ；③ $\frac{A H}{H B} = 2 \sqrt{3} - 1$ ；④点M是BC边上一动点，连结HM ，将 $△ B H M$ 沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q ，连结DQ ，则DQ的最小值为 $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3} - 2}{2} ．$ 其中正确的结论有．（填序号）

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三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{9} + | 2 - \sqrt{3} | + 2 s i n 60 °$ ．

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17. 先化简，再求值： $(a + 1 + \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{3} - 2 a^{2}}{a^{2} - 4 a + 4}$ ，其中a满足 $a^{2} - 4 = 0$ ．

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18. 如图，在四边形ABCD中， $A B ∥ C D$ ，点E ， F在对角线BD上， $B E = E F = F D$ ，且 $A F ⊥ A B$ ， $C E ⊥ C D$ ．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ C D E$ ；

(2)、连结AE ， CF ，若 $∠ A B D = 30 °$ ，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．

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19. 在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF ，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角 $α = 37 °$ ，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角 $β = 50 °$ ．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据： $s i n 37 ° = 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $s i n 50 ° \approx 0.77$ ， $c o s 50 ° \approx 0.64$ ， $t a n 50 ° \approx 19$ ）

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20. 我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．

(1)、请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有（填序号）

(2)、如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A B = A D$ ，求四边形ABCD的面积．

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21. 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的 $\frac{2}{3}$ ．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？

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22. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．

模型设计水平调查报告

调查主题	“逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的	通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象	某校学生模具设计成绩	调查方式	抽样调查
数据收集与表示	随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组： A： $60 \leq x < 70$ ， B： $70 \leq x < 80$ ， C： $80 \leq x < 90$ ， D： $90 \leq x \leq 100$ ．下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用	根据以上信息解决下列问题：（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ；（2）请补全频数分布直方图；（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．

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23. 如图，一次函数 $y = m x + n$ （m ， n为常数， $m \neq 0$ ）的图像与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像交于 $A (- 2, - 2) 、 B (a, 1)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的关系式．

(2)、结合图形，请直接写出不等式 $\frac{k}{x} - x < 0$ 的解集．

(3)、点 $P (0, b)$ 是y轴上的一点，若 $△ A B P$ 是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．

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24. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，C是 $⊙ O$ 上的一点，连结AC、BC ，延长AB至点D ，连结CD ，使 $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、求证：CD是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、点E是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连结BE ，交AC于点F ，过点E作 $E H ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点H ，交AB于点G ，连结BH ，若 $B D = 2$ ， $C D = 4$ ，求 $B F \cdot B H$ 的值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）的图像与x轴交于 $A (- 1, 0)$ 、B两点，交y轴于点C ，对称轴为直线 $x = 1$ ．

(1)、求二次函数关系式．

(2)、连结AC、BC ，抛物线上是否存在点P ，使 $∠ C B P + ∠ A C O = 45 °$ ，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

(3)、在x轴上方的抛物线上找一点Q ，作射线AQ ，使 $∠ B A Q = 2 ∠ A C O$ ，点M是线段AQ上的一动点，过点M作 $M N ⊥ x$ 轴，垂足为点N ，连结BM ，求 $B M + M N$ 的最小值．

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项目	应聘者
项目	甲	乙	丙
学历	9	8	8
经验	8	6	9
能力	7	8	8
态度	5	7	5