浙江省温州市普通高中2025届高三第三次适应性考试数学试题

试卷更新日期：2025-05-11 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3\} ， B = \{x |ln x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 1, 2\}$

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3. 已知 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数， $\bar{z} \cdot i = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $-i$ C、1 D、 $- 1$

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4. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有公共点，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[2, 4]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[1, 4]$

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5. 已知 $tan (θ + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $tan θ =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x ， y \in R$ ， $f (x) f (y) = f (x + y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) - f (x + 1) < f (x + 1) - f (x)$

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7. 为了研究某种商品的广告投入 $x$ 和收益 $y$ 之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.28$ ，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（）万元．
$x$ /万元
1
2
3
4
5
$y$ /万元
0.50
0.80
1.00
1.20
1.50

A、2.48 B、2.58 C、2.68 D、2.88

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 在第二象限且在双曲线的渐近线上， $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，线段 $P F_{2}$ 的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（）

A、 $4$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = sin x (cos x + a sin x)$ ，则存在实数 $a$ ，使得（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最大值为0

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10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，事件 $M = \{1, 2\}$ ，事件 $N = \{2, 3, 4\}$ ，则（）

A、 $M$ 与 $N$ 是互斥事件 B、 $M$ 与 $N$ 是相互独立事件 C、 $P (M ∣ N) = P (N ∣ M)$ D、 $P (\bar{M} N) + P (M \bar{N}) = \frac{1}{2}$

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11. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n} (n \geq 3)$ ，定义：集合 $M = \{(a_{i}, a_{j}) ∣ i < j, \exists p, q$ ，使得 $a_{j} - a_{i} = \frac{1}{2} (a_{q} - a_{p})\}$ ，并记该集合的元素个数为 $|M|$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $a_{n} = 2^{n - 1} (1 \leq n \leq 3)$ ，则 $|M| = 2$ B、若 $a_{n} = 2 n - 1 (1 \leq n \leq 4)$ ，则 $|M| = 3$ C、存在数列 $\{a_{n}\}$ ，其中有一项 $a_{i} (2 \leq i \leq n - 1)$ 能使得 $(a_{1}, a_{i}) \in M$ 且 $(a_{i}, a_{n}) \in M$ D、若任取数列 $\{a_{n}\}$ 的两项 $a_{i}, a_{j} (i < j)$ ， $(a_{i}, a_{j})$ 恰好是 $M$ 元素的概率大于 $\frac{4}{5}$ ，则 $n > 8$

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三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

12. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $A C$ 的中垂线交 $B C$ 于点 $M$ ，则 $△ A B M$ 的面积的最大值是．

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14. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于； $A$ 为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点 $A$ 出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点 $A$ ，则爬行的最短距离为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $cos C (a cos B + b cos A) = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $C D = 2 ， B D = A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 n - 1, n \in N^{*}$ ．

(1)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{n} = a_{n} + n$ ，试判断 $\{b_{n}\}$ 是否是等比数列，并说明理由；

(2)、数列 $\{c_{n}\}$ 满足： $c_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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17. 抛物线 $C_{1} : x^{2} = 2 p_{1} y$ 与 $C_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x$ 的焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $A (4, m) (m > 0)$ 为 $C_{1}, C_{2}$ 的一个交点，且 $|A F_{2}| = 5$ ．

(1)、求 $p_{1}, p_{2}, m$ 的值；

(2)、 $P, Q$ 是 $C_{1}$ 上的两点，若四边形 $F_{1} P F_{2} Q$ （按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．

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18. 如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A C = A A_{1} = 1$ ；在直三棱柱 $A A_{1} A_{2} - B B_{1} B_{2}$ 中， $∠ A A_{1} A_{2} = 90^{\circ}$ ．直线 $B_{2} B_{1} ， B_{2} B$ 分别交平面 $A C C_{1} A_{1}$ 于点 $P, Q$ ．

(1)、求证： $B_{1} B / / P Q$ ；

(2)、若 $∠ A_{2} A A_{1} = ∠ B A C = α$ ，则
（i）当 $α = 45^{\circ}$ 时，求线段 $P Q$ 的长度；
（ii）当平面 $A B B_{2} A_{2}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角与 $α$ 互余时，求 $sin α$ 的值．

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19. 设曲线 $C : x^{3} - x y - y^{3} = 1$ ．

(1)、求证： $C$ 关于直线 $y = - x$ 对称；

(2)、求证： $C$ 是某个函数的图象；

(3)、试求所有实数 $k$ 与 $m$ ，使得直线 $y = k x + m$ 在 $C$ 的上方．

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$x$ /万元	1	2	3	4	5
$y$ /万元	0.50	0.80	1.00	1.20	1.50