四川省自贡市2025年中考数学真题

试卷更新日期：2025-06-17 类型：中考真卷

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一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若 $(- 4) \times □ = 8$ ，则 $□$ 内的数字是（　　）

A、-2 B、2 C、4 D、-4

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2. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若 $∠ 1 = 11 5^{∘}$ 、则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、75° B、90° C、100° D、115°

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4. 中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆.12866000用科学记数法表示为（　　）

A、 $1.2866 \times 1 0^{3}$ B、 $1.2866 \times 1 0^{4}$ C、 $1.2866 \times 1 0^{7}$ D、 $1.2866 \times 1 0^{5}$

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5. 如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（　　）
选手
专家组评分
教师组评分
学生组评分
甲
7
7
9
乙
8
7
8
丙
7
8
8

A、甲 B、乙 C、丙 D、平均分都相同

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7. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的边长为5， $A B$ 边在 $y$ 轴上． $B (0 ， - 2)$ ．若将正方形 $A B C D$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $9 0^{∘}$ ．得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ．则点 $D^{'}$ 的坐标为（　　）

A、（-3，5） B、（5，-3） C、（-2，5） D、（5，-2）

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8. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 $α + β =$ （　　）

A、140° B、150° C、160° D、170°

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9. 某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长 $40 c m$ ．则小地砖短边长（　　）

A、7cm B、8 $c m$ C、9 $c m$ D、 $10 c m$

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10. $P A ， P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于 $A ， B$ 两点．点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，不与点 $A ， B$ 重合．若 $∠ P = 8 0^{∘}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（　　）

A、50° B、100° C、130° D、 $5 0^{∘}$ 或 $13 0^{∘}$ -

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11. 如图．在平面直角坐标系中，将 $△ A B O$ 平移，得到 $△ E F G$ ，点 $E ， F$ 在坐标轴上．若 $∠ A = 9 0^{∘} ， t a n B = \frac{1}{2} ， A (- 4.3)$ ，则点 $G$ 坐标为（　　）

A、（11，-4） B、（10，-3） C、（12，-3） D、（9，-4）

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为6，以对角线 $B D$ 为斜边作 $R t △ B E D$ 、 $∠ E = 9 0^{∘}$ ，点 $F$ 在 $D E$ 上．连接 $B F$ ．若 $2 B E = 3 D F$ ．则 $B F$ 的最小值为（　　）

A、6 B、6 $\sqrt{2} - \sqrt{5}$ C、3 $\sqrt{5}$ D、4 $\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}$

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二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13. 计算： $\sqrt{18} - 3 \sqrt{2} =$ ．

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14. 分解因式： $m^{2} - 4 m =$ .

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15. 若 $2 a + b = - 1$ ，则 $4 a^{2} + 2 a b - b$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $A B = D C = 2$ ．以点 $B$ 为圆心， $D B$ 的长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $E_{1}$ ．以点 $C$ 为圆心． $C E_{1}$ 的长为半径画弧．交 $C D$ 于点 $D_{1}$ ，过点 $D_{1}$ 作 $D_{1} F_{1} ⊥ D C$ ，交 $A C$ 于点 $F_{1}$ ；再以点 $F_{1}$ 为圆心， $F_{1} D_{1}$ 的长为半径画弧，交 $A C$ 于点 $F_{2}$ ，以 $C F_{2}$ 的长为半径画弧，交 $D C$ 于点 $D_{2}$ ，过点 $D_{2}$ 作 $D_{2} E_{2} ⊥ D C$ ，交 $B C$ 于点 $E_{2}$ ；又以点 $E_{2}$ 为圆心……重复以上操作．则 $D_{2025} F_{2025}$ 的长为．

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，Rt $△ A B C$ 的顶点 $C ， A$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴正半轴上， $∠ A C B = 9 0^{∘} ， ∠ B A C = 3 0^{∘} ， B C = 2$ ．以 $B C$ 为边作等边 $△ B C D$ ．连接 $O D$ ，则 $O D$ 的最大值为．

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三、解答题（共8个题．共82分）

18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x + 3 > 0 \\ 4 x - 3 < 3 x - 1 \end{array}$ ，并在数轴上表示其解集．

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19. 如图， $∠ A B E = ∠ B A F$ ， $C E = C F$ ．求证： $A E = B F$ ．

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20. 去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各留了36篮和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？

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21. 某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
粗脚
球类活动兴趣班
占调查总人数百分比
A
足球
10%
B
篮球
C
乒乓球
D
羽毛球

(1)、请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 ▲ 度；

(2)、估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；

(3)、若用电脑随机选择A ， B ， C ， D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率

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22. 如图．等圆 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点， $⊙ O_{1}$ 经过 $⊙ O_{2}$ 的圆心 $O_{2}$ ，连接 $A B$ ，作直径 $A C$ ，延长 $O_{3} B$ 到点 $D$ ，使 $D B = O_{2} B$ ，连接 $D C$ ．

(1)、 $∠ A B O_{2} =$ 度；

(2)、求证： $D C$ 为 $⊙ O_{2}$ 的切线；

(3)、若 $D C = 3 \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O_{2}$ 上 $\overset{⌢}{A B}$ 的长．

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23. 如图，正比例函数 $y = k x$ 与反比例函数 $y = - \frac{8}{x}$ 的图象交于点 $A (- 2 ， a)$ ，点 $B$ 是线段 $O A$ 上异于端点的一点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线．交反比例函数的图象于点 $D$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若 $B D = 2$ ，求点 $B$ 坐标；

(3)、双曲线 $y = - \frac{8}{x}$ 关于 $y$ 轴对称的图象为 $y^{'}$ ，直接写出射线 $O A$ 绕点 $O$ 旋转 $9 0^{∘}$ 后与 $y^{'}$ 的交点坐标.

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24. 如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．

(1)、制作工具
如图2，在矩形木板 $H I J K$ 上 $O$ 点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物 $G$ ，过点 $O$ 画射线 $Q M ∥ H K$ ．测量时竖放木板，当重垂线 $O G ∥ H I$ 时，将等腰直角三角尺 $A C B$ 的直角顶点 $C$ 紧靠铁钉，绕点 $O$ 转动三角尺，通过 $O B$ 边瞄准目标 $N$ ，测量 $∠ M O B$ 可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时， $Q M$ 是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为 $O G$ 始终垂直于水平面，满足 $O G ⊥ Q M$ 就行．”求证： $O G ⊥ Q M$ ．

(2)、获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台 $P$ 处测得塔底 $U$ 的仰角为 $5 . 1^{∘}$ ，在25楼对应位置 $D$ 处测得塔底 $U$ 的俯角为 $9 . 1^{∘}$ ，塔顶 $T$ 的仰角为 $14 . 5^{∘}$ ．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个 $R t △ V W Z ， ∠ W = 9 0^{∘}$ ， $∠ W V Z = 14 . 5^{∘} ， V W = 10.0 c m$ ．在边 $W Z$ 上取两点 $X ， Y$ ，使 $∠ Y V W = 5 . 1^{∘} ， ∠ X V Y = 4 . 0^{∘}$ ，量得 $Y W = 0.91 c m$ ， $X Y = 0.70 c m$ ， $Z X = 0.94 c m$ ，则 $t a n 5 . 1^{∘} \approx$ ， $t a n 9 . 1^{∘} \approx$ ， $t a n 14 . 5^{∘} \approx$ （结果保留小数点后两位）．

(3)、计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．

(4)、反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D ， E$ 分别是 $A C ， A B$ 的中点，连接 $D E$ ， $C E ， B D$ 交于点 $G$ ．

(1)、若 $B D ⊥ C E$ ， $B D = 1$ ， $C E = \frac{1}{2}$ ，则四边形 $B C D E$ 的面积为；

(2)、若 $B D + C E = \frac{3}{2}$ ， $△ A B C$ 的最大面积为 $S$ ．设 $B D = x$ ，求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求 $S$ 的最大值；

(3)、若（2）问中 $x$ 取任意实数，将函数 $S$ 的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数 $y$ 的图象．直线 $y = k_{1} x - k_{1}$ 交该图象于点 $F$ ， $H$ （ $F$ 点在 $H$ 点左边），过点 $H$ 的直线 $l ： y = k_{2} x + b$ 交该图象于另一点 $Q$ ，过点 $F ， Q$ 的直线与直线 $x = 1$ 交于点 $K$ ．若 $S_{Δ I B K} = S_{Δ I B K Q}$ ，试问直线 $l$ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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选手	专家组评分	教师组评分	学生组评分
甲	7	7	9
乙	8	7	8
丙	7	8	8

粗脚	球类活动兴趣班	占调查总人数百分比
A	足球	10%
B	篮球
C	乒乓球
D	羽毛球