四川省达州市2025年中考数学试题

试卷更新日期：2025-06-17 类型：中考真卷

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一、单项选择题（每小题4分，共40分）

1. 如果收入100元记作 $+ 100$ 元，那么支出40元应记作（）

A、 $+ 60$ 元 B、 $+ 40$ 元 C、 $- 40$ 元 D、 $- 60$ 元

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2. 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. “悟空”号全海深 $A U V$ 是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在 $11000$ 米深海自主作业的能力，数据 $11000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.11 \times 1 0^{5}$ B、 $1.1 \times 1 0^{4}$ C、 $1.1 \times 1 0^{5}$ D、 $1.1 \times 1 0^{3}$

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4. 如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F ．若 $∠ 1 + ∠ 2 = 35 °$ ，则 $∠ A F B$ 的度数为（）

A、 $35 °$ B、 $55 °$ C、 $70 °$ D、 $145 °$

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5. 下列各式运算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{3} + a^{3}$ B、 $a^{3} \cdot a^{3}$ C、 $a^{12} \div a^{2}$ D、 ${(a^{3})}^{3}$

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6. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位： $m^{3}$ ），关于这组数据，下列说法正确的是（）

A、众数是5 B、中位数是6 C、平均数是6 D、极差是3

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7. 《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 2 y = 8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 10 \\ 5 x + 2 y = 6 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 5 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$

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8. 下列说法正确的是（）

A、两点之间线段最短 B、平行四边形是轴对称图形 C、若 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是全体实数 D、三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分

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9. 如图，在△ABC中， $A B = A C = 8 ， B C = 5$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点E ，交 $A C$ 于点D ，则 $△ B D C$ 的周长为（）

A、21 B、14 C、13 D、9

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (1, 0)$ ，点 $B (3, 0)$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a + b = 0$ ；③ $b^{2} - 4 a c > 0$ ；④ $a - b + c > 0$ ．正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每小题4分，共20分）

11. 因式分解：m²+2m=

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 的一个根是 $1$ ，则 $m$ 的值为．

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13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是．

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14. 化简： $\frac{3 x}{x - y} - \frac{5 - 3 x}{y - x} =$ ．

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15. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转 $θ$ 角度，这样的图形运动叫做图形的 $γ (a, θ)$ 变换，现将斜边为1的等腰直角三角形 $A B C$ 放置在如图的平面直角坐标系中， $△ A B C$ 经 $γ (1, 180 °)$ 变换后得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 为第一次变换， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 经 $γ (2, 180 °)$ 变换得 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 为第二次变换，…，经 $γ (n, 180 °)$ 变换得 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ ，则点 $C_{2025}$ 的坐标是．

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三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）

16.

(1)、计算： ${(\sqrt{2025} - 1)}^{0} - {(- 1)}^{2} + | - 2 |$ ；

(2)、解不等式： $\frac{3 x - 1}{2} \leq \frac{2 x + 1}{3}$ 并把解集表示在数轴上．

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17. 项目调研

项目主题	阳光学校学生研学需求情况调查
调查人员	数学兴趣小组
调查方法	抽样调查
调研内容	阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A ．张爱萍故居；B ．王维舟纪念馆；C ．万源保卫战纪念馆；D ．广子村农业示范园；E ．开江白宝塔．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）
统计数据

请阅读上述材料，解决下列问题：

(1)、请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是；

(2)、若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；

(3)、甲同学从B ， C ， D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C ， D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．

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18. 开启作角平分线的智慧之窗

(1)、问题：作 $∠ A O B$ 的平分线 $O P$
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得 $O P$ 为 $∠ A O B$ 的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等， $A A S$ ， $A S A$ 或 $H L$ ， ②；
对丙同学的作法陷入了沉思．

(2)、任务：
①请你将上述讨论得出的依据补充完整；
②完成对丙同学作法的验证．
已知 $∠ A E D = ∠ A O B ， E P = E O$ ，求证： $O P$ 平分 $∠ A O B$ ．

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19. 如图，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 交于点 $A (2, 2)$ ，点 $B (- 4, a)$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、点P在x轴上， $S_{△ A O P} = 3$ ，求点P的坐标．

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20. 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的 $C$ 处，工作人员所乘小船在 $A$ 处测得无人机的仰角为 $30 °$ ，当工作人员沿正前方向划行 $30$ 米到达 $B$ 处，测得无人机的仰角为 $45 °$ ，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）

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21. 归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：

(1)、尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①；
②；
③ ．

(2)、实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3， $∠ A B C = 90 °$ ，点D是 $A C$ 的中点， $B E ∥ A C$ ， $A E ∥ B D$ ，试帮他判断四边形 $A D B E$ 的形状，并证明你的结论．

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22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．

(1)、设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；

(2)、为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；

(3)、文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是弦， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线， $P A = P B$ ，点 $C$ ， $D$ ， $E$ 分别是线段 $A B$ ， $A P$ ， $B P$ 上的动点，连接 $C D$ ， $C E$ ， $∠ D C E = ∠ P = α$ ．

(1)、试判断 $P B$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $α = 60 ° ， C D : C E = 1 : 2$ ，试求 $4 A D + B E$ 与 $⊙ O$ 半径 $r$ 的数量关系．

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24. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交x轴于A ， B两点，交y轴于C点，B的坐标为 $(3, 0)$ ， C的坐标为 $(0, 3)$ ，顶点为M ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $B C$ ，过第四象限内抛物线上一点作 $B C$ 的平行线，交x轴于点E ，交y轴于点F ．
①连接 $A F$ ，当 $∠ A F E = 90 °$ 时，求 $R t △ A F E$ 内切圆半径r与外接圆半径R的比值；
②连接 $C A ， C E$ ，当点F在 $△ A E C$ 的内角平分线上， $B C$ 上的动点P满足 $M P + \frac{\sqrt{2}}{2} B P$ 的值最小时，求 $△ B P E$ 的面积．

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25. 综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．

(1)、探究发现：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $P$ 是 $A B$ 边上一点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ B C$ 于 $E$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ B C$ 于 $F$ ．连结 $C P$ ，由图形面积分割法得： $S_{△ A B C} = S_{△ A P C} +$ ；则 $A F =$ $+$ ．

(2)、实践应用：如图2， $△ A B C$ 是等边三角形， $A C = 3$ ，点 $G$ 是 $A B$ 边上一点，连结 $C G$ ．将线段 $C G$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60 °$ 得 $C F$ ，连结 $G F$ 交 $B C$ 于 $P$ ，过点 $P$ 作 $P D ⊥ G C$ 于 $D$ ， $P E ⊥ C F$ 于 $E$ ，当 $A G = 1$ 时，求 $P D + P E$ 的值．

(3)、拓展延伸：如图3，已知 $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $A C$ ， $B E$ 是弦， $A C = B E$ ， $P$ 是 $A B$ 上一点， $P D ⊥ A C$ ，垂足为 $D$ ， $A B = 10 ， A D = 2 ， B D = 4 \sqrt{5}$ ，求 $S_{△ P A C} + S_{△ P B E}$ 的值．

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