四川省凉山州2025年中考数学试卷

试卷更新日期：2025-06-17 类型：中考真卷

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一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1. $\frac{1}{2025}$ 的相反数是（）

A、2025 B、 $- 2025$ C、 $\frac{1}{2025}$ D、 $- \frac{1}{2025}$

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2. 2025年“五一”假期，西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题，推出一系列文化旅游体验活动．相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客117.93万人次，将数据117.93万用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

A、 $117.93 \times 1 0^{4}$ B、 $1.1793 \times 1 0^{5}$ C、 $1.1793 \times 1 0^{6}$ D、 $0.11793 \times 1 0^{7}$

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3. 下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

A、 $m + m = m^{2}$ B、 $(m n^{2})^{5} = m^{5} n^{7}$ C、 $m^{3} \cdot m^{2} = m^{6}$ D、 $m^{8} \div m^{2} = m^{6}$

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4. 以下字母是轴对称图形的是 $($ 　　 $)$

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是 $($ 　　 $)$

A、主视图与左视图相同 B、主视图与俯视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、主视图、左视图和俯视图都不相同

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6. 如图， $D F / / A B$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $∠ A C E = 100 °$ ，则 $∠ C E D = ($ $)$

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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7. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为 $x$ ，那么可列出的方程是 $($ 　　 $)$

A、 $560 (1 + x)^{2} = 1860$ B、 $560 + 560 (1 + x) + 560 (1 + 2 x) = 1860$ C、 $560 + 560 (1 + x) + 560 (1 + x)^{2} = 1860$ D、 $560 + 560 (1 + 2 x)^{2} = 1860$

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8. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引 $($ 　　 $)$ 条对角线．

A、6 B、7 C、8 D、9

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9. 若 $(3 x + 2 y - 19)^{2} + | 2 x + y - 11 | = 0$ ，则 $x + y$ 的平方根是 $($ 　　 $)$

A、8 B、 $\pm 8$ C、 $\pm 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A、若 $| a | = | b |$ ，则 $a = b$ B、若 $a m < b m$ ，则 $a < b$ C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

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11. 如图， $A B = A C$ ， $A E = A D$ ，点 $E$ 在 $B D$ 上， $∠ E A D = ∠ B A C$ ， $∠ B D C = 56 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为 $($ $)$

A、 $56 °$ B、 $60 °$ C、 $62 °$ D、 $64 °$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，其对称轴为 $x = 2$ ，且图象经过点 $(6, 0)$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A、 $b c > 0$ B、 $4 a + b = 0$ C、若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 4$ D、若 $(- 1, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ 两点都在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象上，则 $y_{2} < y_{1}$

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二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

13. 数据0， $- 4$ ， 2， $- 1$ ， 2，3的中位数是．

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14. 若式子 $\frac{\sqrt{m - 1}}{m + 2}$ 在实数范围内有意义，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 如图，将周长为20的△ $A B C$ 沿 $B C$ 方向平移2个单位长度得△ $D E F$ ，连接 $A D$ ，则四边形 $A B F D$ 的周长为．

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16. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$ 无解，则 $m =$ ．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是边 $C D$ 的中点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B D$ 于点 $F$ ， $E G ⊥ A C$ 于点 $G$ ，若 $A C = 12$ ， $B D = 16$ ，则 $F G$ 的长为．

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18. 如图，△ $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B = 65 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\hat{B C}$ 的长为．

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三、解答题（共7小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. 计算： $(π - 3.14)^{0} - | 1 - \sqrt{3} | + t a n 60 ° + (- \frac{1}{3})^{- 1}$ ．

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20.

(1)、解不等式： $\frac{3 x - 2}{6} - \frac{x + 3}{3} ⩽ 1$ ；

(2)、先化简，再求值： $1 - \frac{2 x}{x + 2} \div \frac{2 x^{2} - 4 x}{x^{2} + 4 x + 4}$ ．求值时请在 $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ 内取一个使原式有意义的 $x (x$ 为整数）．

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21. 某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍 $(A$ 类为文学， $B$ 类为科普， $C$ 类为体育， $D$ 类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：

(1)、本次调查的总人数是人；

(2)、补全条形统计图，并求出 $C$ 类所对应的扇形的圆心角为 ▲ 度；

(3)、现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．

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22. 某型号起重机吊起一货物 $M$ 在空中保持静止状态时，货物 $M$ 与点 $O$ 的连线 $M O$ 恰好平行于地面， $B M = 3$ 米， $∠ B O M = 18.17 °$ ．（参考数据： $s i n 18.17 ° \approx 0.31$ ， $c o s 18.17 ° \approx 0.95$ ， $t a n 18.17 ° \approx 0.33$ ， $s i n 36 ° \approx 0.59$ ， $c o s 36 ° \approx 0.81$ ， $t a n 36 ° \approx 0.73$ ，结果精确到1米）

(1)、求直吊臂 $O B$ 的长；

(2)、直吊臂 $O B$ 与 $B M$ 的长度保持不变， $O B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，当 $∠ O B M = 36 °$ 时，货物 $M$ 上升了多少米？

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23. 如图，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (6, 1)$ ， $B (2, m)$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、利用图象，直接写出不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集为；

(3)、在 $x$ 轴上找一点 $C$ ，使△ $A B C$ 的周长最小，并求出最小值．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，连接 $P B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $A C$ ，则 $∠ P A C = ∠ B$ ．理由如下： $∵ A B$ 是 $⊙ O$ 的直径
$∴ ∠ A C B = 90 °$
$∴ ∠ C A B + ∠ B = 90 °$
$∵ P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$
$∴ P A ⊥ A B$
$∴ ∠ P A B = 90 °$
$∴ ∠ C A B + ∠ P A C = 90 °$
$∴ ∠ P A C = ∠ B$

(1)、小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当 $A B$ 是非直径的弦，而其他条件不变时， $∠ P A C = ∠ B$ 仍然成立，请说明理由；

(2)、小明进一步探究发现：如图乙，线段 $P A$ 与线段 $P C$ ， $P B$ 存在如下关系： $P A^{2} = P C \cdot P B$ ．请你替小明证一证；

(3)、拓展应用：如图丙，△ $A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A O B = 150 °$ ， $B C$ 的延长线与过点 $A$ 的切线相交于 $P$ ，若 $⊙ O$ 的半径为1，请你利用小明的探究结论求 $P C$ 的长．

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25. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ， $C (0, - 3)$ 三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 在直线 $A C$ 下方的抛物线上运动，求点 $P$ 到直线 $A C$ 的最大距离；

(3)、动点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，作射线 $Q A$ ，若射线 $Q A$ 绕点 $Q$ 逆时针旋转 $90 °$ 与抛物线交于点 $D$ ，是否存在点 $Q$ 使 $A Q = Q D$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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