北京市丰台区2024-2025学年高三下学期综合练习（二）数学试题

试卷更新日期：2025-05-16 类型：高考模拟

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}, B = \{x |(x - 1) (x - 3) > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ B、 $\{x |1 < x < 2\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ D、 $\{x |- 1 < x < 3\}$

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2. 在复平面内，复数 $z = i (1 - i)$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2$ ，且 ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 0, a_{n + 1} + 2 S_{n} = n$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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5. 已知直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点．当 $k$ 变化时，则 $|A B|$ （）

A、有最小值 $2 \sqrt{3}$ B、有最大值 $2 \sqrt{3}$ C、有最小值 $\sqrt{3}$ D、有最大值 $\sqrt{3}$

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6. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的两实根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则“ $|x_{1}| = |x_{2}|$ ”是“关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ．若四边形 $A A^{'} B^{'} B$ 的周长等于 $\frac{5}{2} |A B|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、 $\pm 2$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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8. 如图，在棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 为正方形， $A B = 3, A^{'} B^{'} = 1$ ，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面 $A B C D$ 的夹角均为 $45 °$ ，则该棱台的表面积为（）

A、18 B、 $10 + 8 \sqrt{2}$ C、 $10 + 8 \sqrt{3}$ D、34

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9. “红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数 $f^{'}$ ，波源发出的光波的频率为正数 $f$ ， $f^{'}$ 和f满足光的普遍多普勒效应公式 $f^{'} = f \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{1 - β cos θ}$ （ $β \in (0, 1)$ 为波源运动速率与光速的比值， $θ \in [0,π]$ 为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用 $A I$ 工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入 $β$ 和 $θ$ 的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是（）

A、输入 $θ = 0$ 和任意β，运行结果显示“红移” B、输入 $θ = \frac{π}{2}$ 和任意β，运行结果显示“蓝移” C、输入 $β = \frac{4}{5}$ 和任意 $θ > \frac{π}{6}$ ，运行结果显示“红移” D、输入 $β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 和任意 $θ < \frac{π}{4}$ ，运行结果显示“蓝移”

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10. 已知 $M = \{(x, y) |y = t {log}_{2} x - t + 1, 1 \leq x \leq 2, 0 \leq t \leq 1\}$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点集．设 $d$ 是 $M$ 中两点间距离的最大值， $k$ 是 $M$ 中的点与原点 $O$ 连线的斜率， $S$ 是 $M$ 表示的图形的面积，给出下列四个结论：① $(\sqrt{2}, \frac{1}{2}) \in M$ ；② $d = \sqrt{2}$ ；③ $k \in [0, \frac{1}{2}]$ ；④ $S < \frac{1}{2}$ ．其中所有正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数 $f (x) = \frac{ln (1 - x)}{\sqrt{x}}$ 的定义域为．

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b $>$ 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．

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13. 已知直线 $x = - \frac{π}{3}$ 为函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 图象的一条对称轴，则满足条件的一个 $ω$ 的取值为；若 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 上有零点，则 $ω$ 的最小值为．

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14. 已知 ${(x - 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ ．（用数字作答）

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15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = k \sqrt{a_{n} + 1} - 1 (k > 0)$ ，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数 $k$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是常数列；
②当 $k = 1$ 时， $\{{log}_{2} (a_{n} + 1)\}$ 是等比数列；
③若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则 $k \in (0, \sqrt{2})$ ；
④若对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n} < 3$ ，则 $k \in (0, 2]$ ．
其中所有正确结论的序号为．

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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} c sin B + b sin 2 C = 0$ ．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 边上的高．

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17. 如图，在四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 与侧面 $A D D^{'} A^{'}$ 均为菱形， $A B ⊥$ 平面 $A D D^{'} A^{'}, A D = 2, E$ 为 $C C^{'}$ 的中点， $D D^{'}$ 与平面 $A B E$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $F$ 为 $D D^{'}$ 的中点；

(2)、再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段 $A^{'} C$ 上是否存在点 $G$ ，使得直线 $A G$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{4}$ ？若存在，求 $\frac{A^{'} G}{A^{'} C}$ 的值；若不存在，说明理由．
条件①： $A D = A D^{'}$ ；
条件②： $D D^{'} ⊥ B F$ ．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间 $[0, 1)$ 内有70人，近视率为 $80 %$ ；日均户外活动时长在区间 $[1, 2)$ 内有20人，近视率为 $40 %$ ；日均户外活动时长在区间 $[2, 3]$ 内有10人，近视率为 $20 %$ ．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．

(1)、估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；

(2)、用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；

(3)、为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 $\bar{x}$ ，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 $\bar{y}$ ．用样本估计总体，试比较 $\bar{x}$ 与 $\bar{y}$ 的大小．（结论不要求证明）

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，过点 $A$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $T$ ，线段 $A T$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ．过点 $P (1, 0)$ 且与 $l$ 平行的直线与 $y$ 轴交于点 $Q$ ．若 $△ O M N$ 与 $△ N P Q$ 的面积之比为 $4 : 3$ ，求 $k$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = (x^{3} + 2 x^{2}) e^{a x + b} (a, b \in R)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程为 $y = 1$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f (x) \leq - x^{2} - 2 x$ ，求 $x$ 的取值范围．

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21. 设数列 $\{a_{n}\}$ 是 $1, 2, \dots, n (n \in N^{*})$ 的一个排列．由 $\{a_{n}\}$ 中连续 $r$ 项组成的集合称作“ $\{a_{n}\}$ 的长为 $r$ 的子列集”，其中 $1 \leq r \leq n$ ．任取不大于 $n$ 的正整数 $s, t$ ，当 $s t \geq n$ 时，若数列 $\{a_{n}\}$ 的任意长为 $s$ 的子列集 $B = \{b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}\}$ 和数列 $1, 2, \dots, n$ 的任意长为 $t$ 的子列集 $C = \{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t}\}$ ，都有 $B \cap C \neq \emptyset$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”．

(1)、判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．

(2)、证明：由 $1, 2, \dots, n$ 的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过 $[\frac{n + 1}{2}]$ 的“好数列”（ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“好数列”，求 $n$ 的最大值．

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