2025届浙江省桐乡市高三5月模拟测试数学试题

试卷更新日期：2025-05-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x | y = lg (x + 1)\}$ ， $B = \{x | - 2 < x < 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 5)$ B、 $(- 2, 5)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(5, + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z + i} = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2}$ 的极小值是 $- 4$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若实数 $a, b$ 满足 $e^{a} e^{2 b - 1} = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ ，则“ $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设直线 $y = m$ 与函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{- x^{2} - 2 x}, - 2 \leq x \leq 0 \\ f (- x), 0 < x \leq 2 \end{array}$ 的图象的公共点从左至右依次为 $A, B, C, D$ ，若 $|A D| = 5 |B C|$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = sin(2 ω x - \frac{π}{6}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ，且 $\frac{2 π}{3} < T < \frac{3 π}{2}$ ，函数 $y = f (x + \frac{π}{12}) + 1$ 为奇函数，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，点 $P$ 在 $C$ 上， $|O P| = c$ ，直线 $P Q$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的内角平分线， $O Q // P F_{2}$ ， $|O Q| = 2 b$ ，则 $C$ 的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、数据1，2，4，5，6，8，10，11的下四分位数是3 B、若一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 的对应样本点都在直线 $y = - \frac{1}{3} x + 1$ 上，则这组样本数据的相关系数为 $- \frac{1}{3}$ C、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 D、以 $\hat{y} = c e^{k x}$ 拟合一组数据时，经 $z = ln y$ 代换后的经验回归方程为 $\hat{z} = 0.5 x + 0.2$ ，则 $c = e^{0.2}$ ， $k = 0.5$

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10. 已知四棱锥 $S - A B C D$ ，底面是边长为 $2$ 的正方形， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $S A = 2$ ，点 $P$ 满足 $\vec{S P} = λ \vec{S C}$ ， $λ \in [0, 1]$ ，下列说法正确的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $B P ⊥ S D$ B、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，点 $D$ 到平面 $A B P$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、当平面 $B P C ⊥$ 平面 $A P D$ 时， $λ = \frac{1}{2}$ D、当二面角 $B - A P - C$ 为 $\frac{π}{3}$ 时， $λ = \frac{2}{3}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，集合 $A = \{x_{0}|$ 对于任意 $x \in (x_{0}, + \infty), f (x) < f (x_{0})\}$ ，在使得 $A = [- 1, 2] \cup \{3\}$ 的所有 $f (x)$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $f (3) < f (2)$ B、 $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上单调递减 C、存在 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取到最大值 D、存在 $f (x)$ ，使得 $f (x)$ 在 $(3, + \infty)$ 单调递减

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{a} = (x + 1, - 3), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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13. 将 $6$ 个相同的球放入编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 的 $3$ 个盒子中，要求每个盒子至少放 $1$ 个球，且编号为 $1$ 的盒子中球数不超过 $2$ 个，则不同的放法种数为．（用数字作答）

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14. 记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + \frac{3}{2^{n}}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n}^{2} - [a_{n}^{2}]$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2025}] =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是 $\frac{3}{5}$ ，乙获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，求：

(1)、赛完4局且甲获胜的概率；

(2)、在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a + 2 c cos A = 2 b + c cos B$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $C D = \frac{\sqrt{10}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 如图，已知 $A D // B C // F E$ ，平面 $A B F ⊥$ 平面 $A D E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A F ⊥ A D$ ， $A D = 2 B C = 2 E F = 2 A F = 2$ ，点 $P$ 为梯形 $A D E F$ 内（包括边界）一个动点，且 $B P //$ 平面 $C D E$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹长度；

(2)、当线段 $B P$ 最短时，直线 $B P$ 与平面 $B C E F$ 所成角 $θ$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求三棱锥 $P - C D E$ 的体积．

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - ln x - (b + 1) sin b π x (a, b \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2, b = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $b = 0$ 时，存在 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，求证： $1 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 3$ ；

(3)、当 $0 < a < 1, a = 2 b$ 时，判断 $y = f (x)$ 的零点个数，并作出证明．

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19. 在平面直角坐标系中，将每个点绕原点 $O$ 沿逆时针方向旋转 $α$ 角的变换称为旋转角为 $α$ 的旋转变换，设点 $P (x, y)$ 经过旋转角 $α$ 的旋转变换后变成点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，则 $\{\begin{array}{l} x^{'} = x cos α - y sin α \\ y^{'} = x sin α + y cos α \end{array}$

(1)、在 $\frac{π}{4}$ 的旋转变换下，若点 $P (1, 1)$ 变成 $P^{'}$ 点，直线 $l : y = 2 x - 1$ 变成直线 $l^{'}$ ，求： $P^{'}$ 的坐标和直线 $l^{'}$ 的斜率；

(2)、已知曲线 $C^{'} : {x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2} + 2 x^{'} y^{'} + \sqrt{2} x^{'} - \sqrt{2} y^{'} = 0$ 是由平面直角坐标系下焦点在 $y$ 轴上的抛物线 $C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 所得的斜抛物线的方程．
①求斜抛物线 $C^{'}$ 的焦准距；
②已知 ${A^{'}}_{1} (0, \sqrt{2})$ 在斜抛物线 $C^{'}$ 上，按如下规则依次构造点列 $\{{A^{'}}_{n}\} (n \geq 2)$ ：过点 ${A^{'}}_{n - 1}$ 作斜率为 $\frac{1 + \frac{1}{2^{n}}}{1 - \frac{1}{2^{n}}}$ 的直线交 $C^{'}$ 于点 ${B^{'}}_{n - 1}$ ，再过点 ${B^{'}}_{n - 1}$ 作斜率为 $\frac{1 + \frac{1}{2^{n - 1}}}{1 - \frac{1}{2^{n - 1}}}$ 的直线交 $C^{'}$ 于点 $A_{n}^{'}$ ，记 $△ {A^{'}}_{n} {A^{'}}_{n + 1} {A^{'}}_{n + 2}$ 的面积为 $S_{n}^{'}$ ．求证： $\sum_{i = 1}^{n} S_{n}^{'} < \frac{3}{448}$ ．

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