浙江省稽阳联谊学校2025届高三下学期4月联考数学试题

试卷更新日期：2025-05-05 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = \{x \in N ∣ x \leq 3\}$ ， $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x \in N ∣ x^{2} - x \leq 2\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{0, 1, 3\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 3\}$ D、 $\{0, 2, 3\}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = (3 - i)$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的模为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 下列可以作为方程 $x^{3} + y^{3} = 4 x y$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $y = f (x)$ 的图象与 $y$ 轴交于点C， $D (5, 0)$ ， $B (2, A)$ ，且 $\vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则 $f (4) =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{3} + S_{4}$ 等于（）

A、33 B、46 C、49 D、42

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6. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ 有共同的右焦点 $F$ ，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线 $A F$ 与双曲线右支的另一个交点为 $C$ ， $△ B F C$ 形成以 $B C$ 为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[2, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，满足 $f^{'} (x) x ln x + f (x) = x^{2}$ ，且 $f (2) = \frac{2}{ln 2}$ .已知 $a, b$ 均为正数，若 $f (a^{2}) \geq f (b - 1)$ ，则 $a^{2} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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8. 有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为 $n$ ，则将向上数字为 $n$ 的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为 $n$ 的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（）

A、 $\frac{13}{36}$ B、 $\frac{3}{13}$ C、 $\frac{11}{39}$ D、 $\frac{43}{117}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ B、数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8 C、在一元线性回归模型中，若决定系数 $R^{2} = 1$ ，则残差的平方和为0 D、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 的方差分别为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ，若 $x_{i} + y_{i} = 10$ 且 $x_{i} < y_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $A_{1} D$ 、 $A C$ 上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）

A、正方体被经过 $P$ 、 $Q$ 两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形 B、 $P Q$ 不可能与 $A_{1} D$ 、 $A C$ 都垂直 C、 $P Q$ 有可能与正方体的六个表面所成的角都相等 D、线段 $P Q$ 的中点 $M$ 所围成的区域的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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11. 设 $a$ 和 $b$ 是两个整数，如果 $a$ 和 $b$ 除以正整数 $m$ 所得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对于模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b (mod m)$ .（）

A、若公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} \equiv a_{2} (mod q)$ ，则 $S_{n} \equiv a_{n} (mod q)$ B、若公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $S_{n} \equiv a_{n} (mod q)$ ，则 $a_{1} \equiv a_{2} (mod q)$ C、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 6$ ， $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{n} \equiv 1 (mod a_{2})$ D、若 $\{a_{n}\}$ 为公差 $d$ 的等差数列， $a_{1}$ ， $d \in N$ ，若 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} a_{i + 1}$ ，则 $\exists n \in N^{*}$ 使 $T_{n} \equiv 0 (mod d^{2})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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13. 已知P是直线 $l : x + y - 2 = 0$ 上的任意一点，若过点P作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别记为 $A, B$ ，则劣弧 $A B$ 长度的最小值为.

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14. 若 $e^{a x + 1} - x \geq (a x + ln x + 1) (a x - ln x + 1)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $B C = 1$ 且 $b cos C + \sqrt{3} c sin B = 1 + 2 c$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小.

(2)、如图所示， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点， $∠ D C B = ∠ B$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $A C = A D$ ，求 $\sin ∠ B C A$ 值.

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16. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 在底面的投影 $O$ 落在线段AD上.

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、若 $B C = 8$ ， $P O = 4$ ， $A O = 3$ ， $O D = 2$ ， $M$ 在线段 $A P$ 上，且满足平面 $A M C ⊥$ 平面 $B M C$ ，求直线 $B M$ 与直线 $C P$ 夹角的余弦值.

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17. 已知整数数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，且 $b_{1} + b_{2} + b_{3} = 14$ ， $b_{1} b_{2} b_{3} = 64$ .数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $a_{n} = c_{n} b_{n}$ .数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ 前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，其中 $n^{2} < 2 S_{n} < {(n + 1)}^{2}$ .

(1)、求 $S_{n}$ 和 $b_{n}$

(2)、用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求数列 $\{[T_{n}]\}$ 的前2025项和 $M_{2025}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = a \sin x + \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 无极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点，证明： $\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{4}{a}} < x_{0}^{2} < 1$ .

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19. 位于第一象限的一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 满足 $x_{1}^{2} > 2 y_{1}$ ，过 $P_{1}$ 作 $x^{2} = 2 y$ 的切线，切点为 $A_{1} (x_{A_{1}}, y_{A_{1}})$ ，且满足 $x_{1} < x_{A_{1}}$ ，设 $P_{2} (x_{2,} y_{2})$ 为 $P_{1}$ 关于 $A_{1}$ 的对称点.

(1)、证明： $x_{1}^{2} - 2 y_{1} = x_{2}^{2} - 2 y_{2}$

(2)、（i）若过 $P_{2}$ 的另一条切线切 $x^{2} = 2 y$ 于 $A_{2}$ ，设 $P_{3}$ 为 $P_{2}$ 关于 $A_{2}$ 的对称点，如此重复进行下去，若 $P_{n + 1}$ 为 $P_{n}$ 关于切点 $A_{n}$ 的对称点，设 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，证明： $\{x_{n}\}$ 为等差数列.
（ii）由ⅰ所设且 $P_{1} (1, 0)$ ，求 $|P_{2025} P_{2026}|$ 的值.

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