2025届山东省威海市高三模拟考试数学试题

试卷更新日期：2025-05-18 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {1, 2, \sqrt{m}}, B = {1, m}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、0或2 C、1或2 D、0或1

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = |1+ \sqrt{3} i|$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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3. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{6} = 15 - a_{10}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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4. 某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（）

A、87.5 B、85 C、82.5 D、80

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - a) x + 2 a, x < 1, \\ x - \frac{1}{x}, x \geq 1. \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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6. 已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1：2：3，高为4，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{56 π}{3}$ C、 $40 π$ D、 $56 π$

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7. 已知函数 $f (x) = a^{x} - \log_{a} (x + 1) (a > 1)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在单调递减区间，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, e]$ B、 $(1, e)$ C、 $[e, + \infty)$ D、 $(e, + \infty)$

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8. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $E$ 的右支交于 $A, B$ 两点，若 $| A B | = |A F_{1}|, \cos ∠ B A F_{1} = \frac{7}{8}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{13 π}{6}$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 2, 2]$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增 D、 $y = f (x + \frac{5 π}{12})$ 的图象关于原点对称

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10. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则（）

A、过A作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，若 $∠ A Q F = 60^{°}$ ，则 $| A Q | = 8$ B、若直线BO与 $l$ 交于点 $P$ ，则直线AP平行于 $x$ 轴 C、以线段BF为直径的圆上的点到 $l$ 的最小距离为1 D、以线段AB为直径的圆截 $y$ 轴所得弦长的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的增函数，且 $f (x)$ 可导， $f (x - 1)$ 为奇函数，记函数 $g (x) = (x + 1) f (x),$ $f^{'} (x), g^{'} (x)$ 分别是 $f (x), g (x)$ 的导函数，则（）

A、 $g^{'} (- 1) = 0$ B、 $f^{'} (x - 1) = f^{'} (- x - 1)$ C、 $g^{'} (x - 1) = g^{'} (- x - 1)$ D、 $g (\ln 1.02) < g (- 1 - \sqrt{1.04})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 1, (\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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13. 有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为．

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14. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = 4, ∠ A C B = 90^{°}$ ．若 $Q$ 为侧面 $P A B$ 内的动点， $C Q = 2 \sqrt{2}$ ，当该三棱锥的体积最大时， $Q$ 的轨迹与 $A B, P B$ 所围成区域的面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \frac{\sin 2 A}{1 + \cos 2 A} = \frac{\cos B - \cos C}{\sin C - \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是边BC上一点， $A D = D C = 2 B D, c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 如图，在直平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上．

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $B P D$ ，证明： $P C = P C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = B C, A A_{1} = 2 \sqrt{2}, ∠ B A D = 60^{°}$ ，直线 $A D_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，平面 $B P D$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，求 $C P$ ．

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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, A, B$ 为 $C$ 上两点，线段AB中点的横坐标为 $- 1$ ，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $| A B | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、当AB不垂直 $x$ 轴时，设线段AB的中垂线与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，求 $|O P|$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{α} - b x + b - 1$ ．

(1)、当 $α = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $α = 3$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 有三条过点 $(- 1, 0)$ 的切线，求 $b$ 的取值范围；

(3)、设 $p, q$ 为非负实数， $s, t$ 为正实数，若 $s + t = 1$ ，证明： $p^{s} q^{t} \leq p s + q t$ ．

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19. 设集合 $\{2^{α} + 2^{β} ∣ 0 \leq α < β$ 且 $α, β \in Z\}$ 中所有的数从小到大排列构成数列 $\{a_{n}\}$ ，并将数列 $\{a_{n}\}$ 的各项依次按照上小下大，左小右大，第 $n$ 行共有 $n$ 项的原则，写成如下的数表．

(1)、写出该数表第4行各项的数；

(2)、求 $a_{50}$ ；

(3)、设 $a_{N}$ 位于数表的第 $n$ 行，若 $N > 200$ ，且该数列前 $N$ 项的和能被 $2^{n}$ 整除，求 $N$ 的最小值．

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