平面几何的探究与压轴题型-2024-2025学年八年级下册北师大版数学

试卷更新日期：2025-06-13 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图所示，点A坐标为(-3，0) 点B坐标为(1，4)，在y轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足此条件的点C最多有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、8个

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2. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折，使得点B落在点E处， $C E$ 交 $A D$ 于点F，若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ， $A F = 2$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、1.5 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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3. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{7}$ ． $C E$ 平分 $∠ B C D$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $M$ 是 $C D$ 上一动点，连结 $B M$ ， $E F ⊥ B M$ 于点 $F$ ，若 $B F = F M$ ，且 $E F = 2 D M$ ，则 $C M$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{7} - 1$ B、 $\sqrt{7} - \frac{4}{3}$ C、 $4 - \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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4. 已知P是等边三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 上的一点，若 $∠ A P C = 108 °$ ，则在以线段 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ 为边的三角形中，则最小内角的度数是（）

A、 $48 °$ B、 $12 °$ C、 $22 °$ D、 $18 °$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， O为 $B C$ 的中点，将 $△ A B C$ 绕点O顺时针旋转得到 $△ D E F$ ， D、E分别在边 $A C$ 和 $C A$ 的延长线上，连接 $C F$ ，若 $A D = 3$ ，则 $△ O F C$ 的面积是（　　）

A、 $\frac{9}{2} \sqrt{3}$ B、 $\frac{27}{2} \sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ D、 $\frac{27}{4} \sqrt{3}$

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6. 如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中 $A B = A C = A G = F G$ ， $∠ B A C = ∠ A G F = 90 °$ ， $A F$ 、 $A G$ 分别与 $B C$ 交于D、E两点，将 $△ A C E$ 绕着点A顺时针旋转90°得到 $△ A B H$ ，则下列结论：① $B H ⊥ B C$ ；② $A D$ 平分 $∠ H D E$ ；③若 $B D = 3$ ，当 $D E = 2 C E$ 时，则 $A B = \frac{3}{2} \sqrt{2} + \frac{3}{2} \sqrt{3}$ ；④若 $A B$ 平分 $∠ H A D$ ，则 $S_{△ A B D} = \frac{\sqrt{2}}{2} S_{△ A D E}$ ，其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，P是 $∠ A O B$ 平分线上一点，OP＝10， $∠ A O B = 120 °$ ，在绕点P旋转的过程中始终保持 $∠ M P N = 60 °$ 不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：① $△ P M N$ 是等边三角形；②MN的值不变；③OM＋ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的平分线相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $E F ∥ A B$ 分别交 $A C, B C$ 于点 $E, F$ ．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当 $D$ 是 $E F$ 的中点时 $A C = B C$ ；②当 $△ A B C$ 的形状变化时，点 $E$ 有可能为 $A C$ 的中点．下列判断正确的是（）

A、①，②都正确 B、①，②都错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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9. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点N是 $B C$ 边上一点．点M为 $A B$ 边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为 $C N$ ， $M N$ 的中点，则 $D E$ 的取值范围为（）

A、 $3 < D E < 4$ B、 $3 \leq D E < 4$ C、 $3 \leq D E \leq 4$ D、 $\frac{12}{5} \leq D E < 4$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到 $△ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，分别取边 $B C 、 A^{^{'}} C^{^{'}}$ 的中点 $P 、 Q$ ，则线段 $P Q$ 的长可能是（）

A、6 B、7 C、2 D、3

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二、填空题

11. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ， $B C = 4$ ，有一个内角为 $60^{\circ}$ ， $P$ 是直线 $A B$ 上不同于点 $A$ 、 $B$ 的一点，且 $∠ A C P = 30^{\circ}$ ，则 $P B$ 的长为．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， A D = 6$ ， O为对角线 $A C$ 的中点，点P在 $A D$ 边上，且 $A P = 2$ ，点Q在 $B C$ 边上，连接 $P Q$ 与 $O Q$ ，则 $P Q - O Q$ 的最大值为， $P Q + O Q$ 的最小值为．

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13. 已知，等边三角形 $A B C$ ，点D，E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，且满足 $A D = C E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ，交于点M．作 $∠ A D C$ ， $∠ A B E$ 的角平分线，交于点N．连接 $M N$ ，当 $∠ D C B = 34 °$ 时， $∠ M N D$ 的度数为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 是等边三角形，点 $A (2, 0)$ ，直线 $l : y = x + 1$ 绕 $x$ 轴上一点 $M$ 顺时针旋转120°，得到的直线 $l^{'}$ 恰好经过点 $B$ ，则点 $M$ 的坐标是．

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15. 旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形 $A B C D$ 内一点， $P A = \sqrt{7}$ ， $P B = 3$ ， $P C = 5$ ，则 $∠ A P B =$ ．

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16. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO^' ，连接AO^' ．则下列结论：
①△BO^'A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；
②连接OO^' ，则OO^'=4；
③∠AOB=150°；
④S_四边形_AOBO^'=6+4 $\sqrt{3}$ ．
其中正确的结论是．

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17. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ， $E$ 是边 $D C$ 延长线上一点，连接 $B E$ ，以 $B E$ 为边作等边三角形 $B E F$ ，连接 $F C$ ，则 $F C$ 的最小值是．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 5$ ， $A B = 12$ ，点G是边 $A B$ 上的一点，点P是 $B C$ 边上的一个动点，连接 $D G$ ， $G P$ ，点E，F分别是 $G D$ ， $G P$ 的中点，在点P的运动过程中， $E F$ 的最大长度为．

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 和矩形 $B F D E$ 中， $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $M, B C$ 与 $D F$ 相交于点 $N$ ，连接 $A E, N M$ ，并延长 $N M$ 与 $A E$ 相交于点 $P$ ，若 $A B = B F$ ，则下列结论正确的是。
① $△ A B M ≅ △ E D M$ ；
② $N P ⊥ A E$ ；
③ $A E = E D$ ；
④连接 $B D$ ，若 $∠ B M D = 120^{\circ}$ ，四边形 $B N D M$ 与四边形 $A B D E$ 的面积之比为 $4 : 9$ .

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三、实践探究题

20. 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证 $.$ 网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．

(1)、如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为 $1$ ．
$①$ 如图 $1$ ，点 $A$ 、 $B$ 在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段 $A B$ 的中点 $O ($ 不写画法，保留画图痕迹 $)$ ；
$②$ 如图 $2$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在格点上，仅用无刻度的直尺找出 $∠ A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $P$ ，并写出画图的步骤或依据；

(2)、如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B C = \sqrt{5}$ ，以 $A C$ 为边在 $A C$ 的左侧作等腰直角 $△ A C D$ ，连接 $B D$ ，求 $B D$ 的长．

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21.

(1)、【知识再现】如图1，已知等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， D点在 $B C$ 上．则 $A D$ 与 $B C$ 的位置关系是， $\frac{S_{Δ A C D}}{S_{Δ A B D}} =$ ，当 $A B = 3$ ， $B C = 2$ 时， $A D =$ ．

(2)、【知识应用】如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于E， $B D ⊥ A D$ ，且 $A B - A C = 2 ， B D = \sqrt{5} ，$ 求 $△ A B C$ 的周长．

(3)、【知识拓展】如图3， $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A B = 6$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，求 $\frac{C D}{B D}$ 的值．

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22. 综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转15°得到 $△ A D E$ ，则线段 $B C$ 与线段 $D E$ 的夹角 $∠ B M D = 15 °$ ．如图2，将等边 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转100°得到 $△ A D E$ ，则线段 $B C$ 与线段 $D E$ 所在直线的夹角 $∠ B M D = 80 °$ ．
【特例分析】
（1）如图1，若将等边 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $30 °$ 得到 $△ A D E$ ，线段 $B C$ 与线段 $D E$ 所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $110 °$ 得到 $△ A D E$ ，线段 $B C$ 与线段 $D E$ 所在直线的夹角度数为______度．
【类比分析】
（2）如图3，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上截取 $A D$ 和 $A E$ ，使得 $A D = A E$ ，连接 $D E$ ．如图4，将 $△ A D E$ 绕点A逆时针旋转 $θ$ （ $0 ° \leq θ \leq 180 °$ ），连接 $C E$ ，当 $B C$ 和 $D E$ 所在直线互相垂直时，线段 $A E ， A C ， C E$ 之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
（3）在（2）的条件下，如图3，若 $A B = 4$ ， $A D = A E = 2 \sqrt{3}$ ，将 $△ A D E$ 绕点A逆时针旋转 $θ$ （ $0 ° \leq θ \leq 360 °$ ）．当 $B C$ 和 $D E$ 所在直线互相垂直时，请直接写出此时 $C D$ 的长．

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23.

(1)、【案例展示】如图 $1$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 、 $C D$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，则 $E F = B E + D F$ ，理由如下：
$∵ A B = A D$ ，可把 $△ A B E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ A D G$ ，可使 $A B$ 与 $A D$ 重合，
$∵ ∠ A D C = ∠ B = ∠ A D G = 90 °$ ，
$∴ ∠ F D G = 180 °$ ，点 $F$ 、 $D$ 、 $G$ 共线，由旋转得： $△ A B E$ ≌ $△ A D G$ ，
$∴ A E = A G$ ， $B E = D G$ ， $∠ B A E = ∠ D A G$ ，而 $∠ B A E + ∠ D A F = ∠ B A D - ∠ E A F = 90 ° - 45 ° = 45 °$ ，
$∴ ∠ D A G + ∠ D A F = ∠ F A G = 45 °$ ，即 $∠ E A F = ∠ F A G$ ，
$∴$ ≌ $△ A F G$ ，根据是 $($ 第一空填三角形，第二空填全等的依据 $)$ ，
$∴ E F = F G$ ，
又 $∵ F G = D G + D F$ ，
$∴ E F = D G + D F = B E + D F$ ．

(2)、【类比引申】如图 $2$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ 点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上， $∠ E A F = 45 ° .$ 若 $∠ B$ 、 $∠ D$ 都不是直角时 $E F = B E + D F$ 仍成立，则 $∠ B$ 与 $∠ D$ 应该满足什么数量关系是．

(3)、【拓展运用】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 均在边 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 ° .$ 猜想 $B D$ 、 $D E$ 、 $E C$ 应满足的等量关系，并写出推理过程．

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24.

【问题提出】如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．

(1)、如图2，连接 $B D$ ，由于 $A D = C D$ ，所以可将 $△ D C B$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转 $60 °$ ，得到 $△ D A B'$ ，则 $△ B D B'$ 的形状是．

(2)、在(1)的基础上，求四边形 $A B C D$ 的面积．

(3)、【类比应用】
如图 $3$ ，等边 $△ A B C$ 的边长为 $2$ ， $△ B D C$ 是顶角为 $∠ B D C = 120 °$ 的等腰三角形，以D为顶点作一个 $60 °$ 的角，角的两边分别交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，求 $△ A M N$ 的周长．

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25. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第

77

页的部分内容．

平行四边形的性质定理 $3$ 平行四边形的对角线互相平分 $.$ 我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图 $1$ ， ▱ $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ．
求证： $O A = O C$ ， $O B = O D$ ．

(1)、请根据教材提示，结合图

1

，写出完整的证明过程．

(2)、【性质应用】如图

2

，在▱

A B C D

中，对角线

A C

，

B D

相交于点

O

，

E F

过点

O

且与边

A D

，

B C

分别相交于点

E

，

F .

求证：

O E = O F

．

(3)、【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接

A F .

若

E F ⊥ A C

，

△ A B F

的周长是

9

，则▱

A B C D

的周长是．

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26. 综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，且 $C D < B C$ ，以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$ ，连接 $B E$ ，分别过点 $B$ 作 $B F ∥ E D$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ B E$ ，交于点 $F$ ，连接 $A F ， A C$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ．

(1)、试判断 $A F$ 和 $B E$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、猜想论证：将 $△ C D E$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中 $A F$ 和 $B E$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．

(3)、拓展延伸：将如图1所示的 $△ C D E$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角度 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，当 $∠ A B F = 90 °$ 时，请直接写出 $α$ 的值．

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27. 综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．
定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．

(1)、操作发现：
如图①，将 $△ A B C$ 纸片按所示折叠成完美矩形 $E F G H$ ，若 $△ A B C$ 的面积为24， $B C = 8$ ，则此完美矩形的边长 $F G =$ ，面积为．

(2)、类比探究：
如图②，将平行四边形 $A B C D$ 纸片按所示折叠成完美矩形 $A E F G$ ，若平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $30$ ， $B C = 6$ ，则完美矩形 $A E F G$ 的周长为．

(3)、拓展延伸：
如图③，将平行四边形 $A B C D$ 纸片按所示折叠成完美矩形 $E F G H$ ，若 $E F : E H = 3 : 4$ ， $A D = 15$ ，求此完美矩形的周长为多少．

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28. 某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：
如图1，若四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，则四边形的四条边长满足 $A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}$ ．

(1)、简单应用：如图1，四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ， $C D = 2$ ，则边 $B C =$ ；

(2)、发现应用：如图2，若 $A F$ ， $B E$ 分别是 $Δ A B C$ 中 $B C$ ， $A C$ 边上的中线．且 $A F ⊥ B E$ 垂足为 $P$ ，求证： $A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}$ ；

(3)、拓展应用：如图3， $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ ， $C D$ 的中点．若 $B E ⊥ E G$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = 3$ ．求线段 $A F$ 的长．

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