数与代数的探究与压轴题型-2024-2025学年八年级下册北师大版数学

试卷更新日期：2025-06-13 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 一次函数 $y_{1} = a x (a \neq 0)$ 与 $y_{2} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象如图所示，若 $P (m_{1}, n_{1})$ ， $Q (m_{2}, n_{2})$ 是直线 $y_{1} = a x$ 上不重合的两点．下列结论正确的是（）

A、 $k b < 0$ B、若 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $x < - 2$ C、 $2 a - 2 k = b$ D、 $(m_{1} - m_{2}) (n_{1} - n_{2}) < 0$

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2. 直线 $y_{1} = k x + b$ 与 $y_{2} = m x + m$ 的图象交于点 $A (- 2, 3)$ ，下列判断①关于 $x$ 的方程 $- k x + b = - m x + m$ 的解是 $x = 2$ ②当 $b > 3$ 时，关于 $x$ 的不等式 $k x + b > m x + m$ 的解集是 $x > - 2$ ③设直线 $y_{3} = y_{1} + y_{2}$ ，则直线 $y_{3}$ 一定经过定点 $(- 2, 6)$ ④当原点到直线 $y_{1}$ 的距离最大时，则 $b = 4$ ．正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③ D、①④

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} 6 x + 3 > 3 (x + a) \\ \frac{x}{2} - 1 ⩽ 7 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 的所有整数解的和为9，则整数a的值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 已知实数（x²﹣x）²﹣4（x²﹣x）﹣12=0，则代数式x²﹣x+1的值为（）

A、﹣1 B、7 C、﹣1或7 D、以上全不正确

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5. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴ ，则它的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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6. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{cases} 3 x \geq a - 10 \\ 2 x + 1 < \frac{3 x + 1}{2} \end{cases}$ 恰好有1个整数解，且关于y的分式方程 $1 - \frac{2 y - a}{y - 1} = \frac{3 y - 2}{y - 1}$ 有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（）

A、－6 B、8 C、24 D、6

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7. 已知关于x的分式方程 $\frac{m x}{(x - 2) (x - 6)} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x - 6}$ 无解，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} m - y > 4 \\ y - 4 \leq 3 (y + 4) \end{array}$ 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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8. 关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - \frac{1}{2} (a - 3) \leq \frac{1}{2} (x + 3) \\ \frac{3 x + 1}{2} < x + 3 \end{array}$ 的解集是 $x \leq a$ ，且关于y的分式方程 $\frac{y - a}{y - 1} - \frac{2 y - 4}{1 - y} = 1$ 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）

A、0 B、1 C、5 D、6

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二、填空题

9. 设[x]表示不超过 $x$ 的最大整数， ${x} = x - [x]$ ，（如： $[3.14] = 3, {3.14} = 0.14, [- 3.14] = - 4, {- 3.14}$ $= 0.86)$ ．则方程 $[x] \cdot {x} = 2025 x$ 的解集是.

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10. 如果关于的 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} 2 (x - 2) < 10 \\ 2 (x + 2 a) > 7 \end{matrix}$ 有且仅有5个整数解，则 $a$ 的取值范围是．

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11. 一个两位自然数 $m$ ，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数 $m^{'}$ ，那么称 $m^{'}$ 为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数 $m^{″}$ ，那么称 $m^{″}$ 为m的“后置充美数”．记 $F (m) = \frac{m^{'} - m^{″}}{9}$ ，例如： $m = 12$ 时， $m^{'} = 312$ ， $m^{″} = 123$ ， $F (12) = \frac{312 - 123}{9} = 21$ ．请计算 $F (32) =$ ；已知两个“完美数” $m = 10 a + b (6 \leq a \leq 9, 0 \leq b \leq 9)$ ， $n = 10 x + y (1 \leq x \leq 9, 0 \leq y \leq 9)$ ，若 $F (m)$ 是一个完全平方数，且 $2 m + F (n) - 8 y = 140$ ，则n的最大值为．

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12. 已知a，b，c为整数，满足 $a + b + c = 10$ ， $S = (10 a + b c) (10 b + a c) (10 c + a b) \geq 2019$ ，则 $S$ 的最小值是．

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13. 如果一个自然数M能分解成 $A \times B$ ，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”．那么2100是否是“十全九美数”？（填“是”或“否）”；若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为 $A \times B$ ，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为 $S (M)$ ：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为 $T (M)$ ．当 $\frac{S (M)}{T (M)}$ 能被5整除时，则满足条件的最小自然数M为．

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14. 若 $\frac{6 x^{2} - 7 x + 7}{x^{3} - x^{2} + 2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{(x - 1)^{2} + 1}$ ，则A+B+C=

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15. 若数 $a$ 使关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x + 6}{2} < x + 2 \\ 2 (x - a) \leq x + 4 \end{array}$ 的解集为 $x < - 2$ ，且使关于 $y$ 的分式方程 $\frac{1 - y}{y + 1} - \frac{a}{y + 1} = - 3$ 的解为负数，则符合条件的所有整数 $a$ 的和为．

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16. 二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了 $\frac{1}{4}$ ， C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 $\frac{1}{16}$ ，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．

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三、实践探究题

17. 我们把符号“ $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，如 $| \begin{array}{l} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} | = 2 \times 5 - 3 \times 4 = - 2$ ．

(1)、求不等式 $| \begin{array}{l} 2 & 3 - x \\ 1 & x \end{array} | > 0$ 的解集．

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $| \begin{array}{l} m & x \\ 4 & 3 \end{array} | < 0$ 的解集与（1）中的不等式解集相同，求 $m$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $| \begin{array}{l} n & x \\ 2 & 1 \end{array} | < 0$ 的解都是（1）中的不等式的解，求 $n$ 的取值范围．

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18. 【主题】二元一次不等式的研究
【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究：
任务一：探究发现
（1）已知二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ ．
步棸1：特例感知
令 $x + 2 - y = 0$ 时，可将此二元一次方程变形为一次函数： $y = x + 2$ ，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象；
步骤2：探究过程
探究①：
取点 $A (1, 3)$ 时，
$∵$ 当 $x = 1$ 时，代入 $y = x + 2$ ，得 $y = 3$ ，
$∴$ 点 $A$ 在一次函数 $y = x + 2$ 的图象上，
即 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 3 \end{array}$ ．是二元一次方程 $x + 2 - y = 0$ 的解．
探究②：
取点 $B (1, 1)$ 时，将 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ 代入 $x + 2 - y$ 得 $1 + 2 - 1 = 2 > 0$ ，
$∴$ 不等式 $x + 2 - y > 0$ 成立，
即 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ 是二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解．


探究③：
取点 $B (1, 1)$ 时，
在图1中的直角坐标系中描出点 $B$ ，
$∵$ 点 $B$ 在一次函数 $y = x + 2$ 图象下方，
$∴ 1 < 1 + 2$ ，即满足 $y < x + 2$ ；
即 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ 是二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解．
步骤3：验证猜想
通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解；
① $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$        ② $\{\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 7 \end{array}$           ③ $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - \frac{1}{2} \end{array}$
再写出一组满足二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分）
步骤4：发现结论
二元一次不等式 $x + 2 - y > 0$ 的解集可以表示为直线 $y = x + 2$ ______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域．
任务二：结论应用
（2）已知不等式组 $\{\begin{array}{l} x + 2 - y \leq 0 \\ \frac{1}{2} x + 3 - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积．
任务三：拓展升华
（3）在（2）的条件下，若点 $(m, n)$ 是阴影部分的一动点，记 $b = 3 m + n$ ，则 $b$ 的最大值为______．


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19. 【了解概念】对于给定的一次函数y＝kx+b（其中k ， b为常数，且k≠0），称函数 $y = {\begin{array}{l} - k x + b, x ⩾ 0, \\ k x + b, x < 0 \end{array}$ 为一次函数y＝kx+b的关联函数．

(1)、【理解运用】例如：一次函数y＝﹣2x+1的关联函数为 $y = {\begin{array}{l} 2 x + 1, x ⩾ 0, \\ - 2 x + 1, x < 0 . \end{array}$ ．
若点P（﹣2，m）在一次函数y＝﹣2x+1的关联函数的图象上，则m的值为．

(2)、已知一次函数y＝﹣2x+1．我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数 $y = {\begin{array}{l} 2 x + 1, x ⩾ 0, \\ - 2 x + 1, x < 0 \end{array}$ 的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
1
3
5
…
②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣2x+1的关联函数的图象；
③若﹣1≤x≤2，则y的取值范围为．

(3)、【拓展提升】
在平面直角坐标系中，点M ， N的坐标分别为（﹣1，4），（2，2），连接MN ．当线段MN与一次函数y＝﹣2x+b的关联函数的图象只有1个交点时，求b的取值范围．

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20. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程 $2 x - 7 = 1$ 的解为 $x = 4$ ，不等式组 ${\begin{array}{l} x - 5 < 0, \\ 3 x > 6 \end{array}$ 的解集为 $2 < x < 5$ ．因为 $2 < 4 < 5$ ，所以 $2 x - 7 = 1$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} x - 5 < 0, \\ 3 x > 6 \end{array}$ 的“相伴方程”．

(1)、若不等式组为 ${\begin{array}{l} x - 3 < 1 \\ x + 2 \leq 0 \end{array}$ ，则方程 $2 (x - 1) + 7 = 1$ 是不是该不等式组的相伴方程，请说明理由；

(2)、若关于x的方程 $2 x - a = 1$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 > 3 + x \\ x - 3 \geq 2 x - 6 \end{array}$ 相伴方程，求a的取值

(3)、若方程 $5 x + 10 = 0$ 和 $\frac{2 x - 4}{3} = - 2$ 都是关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} k x - 2 x < k - 2 \\ x + 5 \geq k \end{array} (k \neq 2)$ 的相伴方程，求k的取值范围．

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21. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
例1：因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ .
解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1 = {(a + 3)}^{2} - 1 = (a + 3 - 1) (a + 3 + 1) = (a + 2) (a + 4)$ .
例2：若 $M = a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2$ ，利用配方法求 $M$ 的最小值
解： $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2 = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b + 1 + 1 = {(a - b)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1$ .
∵ ${(a - b)}^{2} ≥ 0$ ， ${(b - 1)}^{2} ≥ 0$ ，
∴当 $a = b = 1$ 时， $M$ 有最小值1.
请根据上述阅读材料，解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解： $a^{2} - 12 a + 35 =$ ；

(2)、若 $M = a^{2} - 3 a + 1$ ，则 $M$ 的最小值为；

(3)、已知 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b + 4 b - 6 c + 13 = 0$ ，求 $a + b + c$ 的值.

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22. 综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．

(1)、探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式．

(2)、探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为；

(3)、将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a ， AB＝a﹣b ， CF＝b ， ∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为，长方体③的体积为；（结果不需要化简）

(4)、用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为．

(5)、问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a³﹣b³的值．

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23. 阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如： $\frac{4}{x + 1} ， \frac{x + 1}{x^{2}}$ ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如： $\frac{x + 2}{x - 1} ， \frac{x^{2} - 1}{2 x + 1}$ 这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 3}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1}$ ．

(1)、分式 $\frac{x^{2}}{2 x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、将假分式 $\frac{3 x + 1}{x - 1} 、 \frac{x^{2} + 3}{x + 2}$ 分别化为带分式；

(3)、如果分式 $\frac{2 x^{2} + 3 x - 6}{x + 3}$ 的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．

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四、阅读理解题

24. 阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．

他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( $x - a$ ) 整除，则其一定可以分解为 ( $x - a$ ) 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．

例如：多项式 $x^{2} + 9 x - 10$ 可以分解为 ( $x - 1$ ) 与另外一个整式 M 的乘积，即 $x^{2} + 9 x - 10 = (x - 1) \cdot M$

令 $x^{2} + 9 x - 10 = 0$ 时，可知 x =1 为该方程的一个根．

关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式： $x^{3} + 2 x^{2} - 3$

观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( $x - 1$ ) 与另一个整式的积．

令： $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + b x + c)$ ，则 $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ = $x^{3} + (b - 1) x^{2} + (c - b) x - c$ ，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ${\begin{array}{l} b - 1 = 2 \\ c - b = 0 \\ - c = - 3 \end{array}$ ，得 ${\begin{array}{l} b = 3 \\ c = 3 \end{array}$ ，从而 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + 3 x + 3)$

此时，不难发现 x= 1 是方程 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = 0$ 的一个根．

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、若 $x + 1$ 是多项式 $x^{3} + a x + 1$ 的因式，求 a 的值并将多项式 $x^{3} + a x + 1$ 分解因式；

(2)、若多项式 $3 x^{4} + a x^{3} + b x - 34$ 含有因式 $x + 1$ 及 $x - 2$ ，求a+ b 的值．

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25. 我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3 = (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ；例如求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值．由 $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x + 1 - 1) - 6 = 2 {(x + 1)}^{2} - 8$ 可知，当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题；

(1)、分解因式： $m^{2} - 4 m - 5 =$ ；

(2)、当a，b为何值时，多项式 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 6 b + 18$ 有最小值，并求出这个最小值；

(3)、当a，b为何值时，多项式 $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 a - 4 b + 27$ 有最小值，并求出这个最小值．

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26. 阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”.
例：将分式 $\frac{1 - 3 x}{x^{2} - 1}$ 表示成部分分式，解：设 $\frac{1 - 3 x}{x^{2} - 1} = \frac{M}{x + 1} + \frac{N}{x - 1}$ ，将等式右边通分，得 $\frac{M (x - 1) + N (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(M + N) x + (N - M)}{x^{2} - 1}$ ，依据题意，得 ${\begin{array}{l} M + N = 3 \\ N - M = 1 \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} M = - 2 \\ N = - 1 \end{array}$ ，所以 $\frac{1 - 3 x}{x^{2} - 1} = \frac{- 2}{x + 1} + \frac{- 1}{x - 1}$ 请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：

(1)、 $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1}$ （A ， B为常数），则 $A =$ ， $B =$ ；

(2)、一个容器装有 $1 L$ 水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 $\frac{1}{2} L$ 水，第2次倒出的水量是 $\frac{1}{2} L$ 的 $\frac{1}{3}$ ，第3次倒出的水量是 $\frac{1}{3} L$ 的 $\frac{1}{4}$ ，第4次倒出的水量是 $\frac{1}{4} L$ 的 $\frac{1}{5}$ …第n次倒出的水量是 $\frac{1}{n} L$ 的 $\frac{1}{n + 1}$ …按照这种倒水的方法，这 $1 L$ 的水是否能倒完？如果能，多少次能倒完？如果不能，请说明理由；

(3)、按照（2）的条件，现在开始重新实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 $\frac{1}{3} L$ 水，第2次倒出的水量是 $\frac{1}{15} L$ ，第3次倒出的水量是 $\frac{1}{35} L$ ，第4次倒出的水量是 $\frac{1}{63} L$ ，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的 $\frac{100}{199}$ ？试说明理由.

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27. 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若 $x - y > 0$ ，则 $x > y$ ；若 $x - y = 0$ ，则 $x = y$ ；若 $x - y < 0$ ，则 $x < y$ ．
例：已知 $M = a^{2} - a b ， N = a b - b^{2}$ ，其中 $a \neq b$ ，求证： $M > N$ ．
证明： $M - N = a^{2} - a b - a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ，
因为 $a \neq b$ ，所以 ${(a - b)}^{2} > 0$ ，故 $M > N$ ．
【新知理解】
（1）比较大小： $2 x - 2$ ______ $x^{2}$ ．（填“>”，“=”，“<”）
【问题解决】
（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示 $(a > 0)$ ，其面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，请比较 $S_{1} ， S_{2}$ 的大小关系．
【拓展应用】
（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且 $m \neq n$ ），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？

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28. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；再如： $\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{2}{x}$ 是分式（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、把假分式 $\frac{x - 1}{x + 2}$ 化为带分式的形式（写出过程）；

(3)、如果分式 $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ 的值为整数，那么x的整数值为．

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x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	3	1	3	5	…