【培优练】人教版数学八年级下学期 20.2 数据的波动程度

试卷更新日期：2025-06-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 $S_{甲}^{2} = 0.61 ， S_{乙}^{2} = 0.52 ，$ $S_{丙}^{2} = 0.53 ， S_{丁}^{2} = 0.42$ ，则射击成绩比较稳定的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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2. 某学习小组A、B、D、E四名同学以及小刚同学的测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是（）

A、小刚的成绩位于组内中上等水平 B、该小组成绩不存在中位数 C、小组的成绩稳定性增加，方差变小 D、小组平均分增加2分

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3. 学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查。下面的调查数据最值得关注的是（）

A、方差 B、众数 C、中位数 D、平均数

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4. 某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式： $S^{2} = \frac{1}{n} [(2 - \bar{S})^{2} + 3 \times (5 - \bar{S})^{2} + 5 \times (6 - \bar{S})^{2} + (8 - \bar{S})^{2}]$ ，则 $\bar{S}$ 的值是（）

A、1 B、5 C、5.25 D、5.5

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5. 方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $⋯$ ， $x_{n}$ ，可用如下算式计算方差： $s^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} + ⋯ + (x_{n} - 3)^{2}]$ ，上述算式中的“3”是这组数据的（）

A、最小值 B、平均数 C、中位数 D、众数

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6. 题目：“已知5个数据 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} [{(a - 6)}^{2} + {(b - 6)}^{2} + {(c - 6)}^{2} + {(d - 6)}^{2} + {(e - 6)}^{2}]$ ，小程的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}) - 36$ ．则小方，小程所列的式子（）

A、小方正确，小程错误 B、小方错误，小程正确 C、都正确 D、都错误

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7. 如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则（）

A、S_甲²>S_乙² B、S_甲²_＜乙² C、S_甲²=S_乙² D、无法确定

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8. 为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高 $(c m)$
176
178
180
181
182
185
人数
1
2
3
2
1
1
下列说法正确的是（）

A、篮球队员身高的众数是 $185 c m$ B、篮球队员的平均身高是 $180.1 c m$ C、篮球队员身高的中位数是 $180.5 c m$ D、篮球队员身高的方差是 $3.2 c m^{2}$

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9. 已知5个均不相等的正数a₁ ， a₂ ， 7，a₃ ， a₄的平均数为7，方差为 $S_{1}^{2}$ ，而a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，这四个数的方差 $S_{2}^{2}$ ，则下列正确的是 $($ $)$

A、 $S_{1}^{2} \leq S_{2}^{2}$ B、 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$ C、 $S_{1}^{2} = S_{2}^{2}$ D、 $S_{1}^{2} > S_{2}^{2}$

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10. 在第 60 届国际数学舆林匹克比赛中，中国队获团体总分第一名．我国参赛选手比赛分数的方差计算公式： $S^{2} = \frac{1}{6} [{(x_{1} - 38)}^{2} + {(x_{2} - 38)}^{2} + \dots \dots + {(x_{6} - 38)}^{2}]$ ，下列说法正确的是（）

A、样本容量为 38 ，平均数为 6 B、样本容量为 6 ，平均数为 6 C、样本容量为 38 ，平均数为 38 D、样本容量为 6 ，平均数为 38

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二、填空题

11. 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数 $\bar{x}$ ，然后写出了如下计算公式： $s^{2} = \frac{1}{n} [{(6 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(10 - \bar{x})}^{2}]$ ，则这组数据的方差 $s^{2} =$ ．

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12. 甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数 $\bar{x}$ （单位：环）及方差 $S^{2}$ （单位：环 $^{2}$ ）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．
甲
乙
丙
丁
$\bar{x}$
9
8
9
9
$S^{2}$
$1.1$
$0.4$
$1.6$
$0.4$

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13. 对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 $S_{甲}^{2}$ ＝7.5， $S_{乙}^{2}$ ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是（填“甲”或“乙”）.

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14. 已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为.

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15. 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数 $\bar{x}$ ，然后写出了如下计算公式： $s^{2} = \frac{1}{n} [(6 - \bar{x})^{2} + (8 - \bar{x})^{2} + (8 - \bar{x})^{2} + (10 - \bar{x})^{2}]$ ，则这组数据的标准差S=.

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16. 已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是.

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17. 已知数据x₁ ， x₂ ，…，x_n的平均数是2，方差是3，则一组新数据2x₁+4，2x₂+4，…，2x_n+4的平均数是，方差是.

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18. 已知某组数据的方差为 $S^{2} = \frac{1}{4} [{(3 - \bar{x})}^{2} + {(4 - \bar{x})}^{2} + {(7 - \bar{x})}^{2} + {(10 - \bar{x})}^{2}]$ ，则 $\bar{x}$ 的值为．

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三、解答题

19. 为督促学生及时查漏补缺，甲、乙两班的数学老师倡导每名学生每星期至少收录一道自己的错题到错题本上。某天，该老师对甲、乙两班学生上周的错题本完成情况进行调查，统计每人在上周收录的错题数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下：
错题数（个）
1
2
3
4
5
甲班频数（人）
10
10
5
17
8
乙班频数（人）
4
12
20
8
6
统计量
平均数
中位数
众数
方差
甲班
3.06
$y$
4
1.9764
乙班
$\bar{x}$
3
3
1.2

(1)、根据上述信息求出 $\bar{x}$ 和 $y$ 的值．

(2)、你认为哪个班表现更好？请结合题目中的统计量进行比较分析，说明理由。

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20. 2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理：
收集数据
八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82
八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79
分析数据

平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
八（1）班
80
b
82
31.6
八（2）班
a
80
c
78.4
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

(2)、请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价．

(3)、该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？

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21. 温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗AI集成平台，通过12项医学AI服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航.为了进一步了解AI系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入AI系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查.以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）：
患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40）
10
20
30
40
50
60
众数（分钟）
中位数（分钟）
平均数（分钟）
方差（分钟）
AI系统（人数）
1
21
15
3
0
0
20
46.15
老系统（人数）
0
8
18
11
2
1
30
32.5
85.9

(1)、老系统就诊时长的众数是， Al系统就诊时长的中位数是.

(2)、计算Al系统患者的平均就诊时长：

(3)、结合以上数据，评价Al系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，

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22. 某球队对甲、乙两名球员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4

(1)、b= ， c=.

(2)、试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（方差公式： $s^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + ⋯ + (x_{n} - \bar{x})^{2}]$ ）

(3)、根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由.

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23. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，姚姚和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：
月收入
4千元
5千元
9千元
11千元
人数（个）
4
3
2
1
根据以上信息，整理分析数据如表：

平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
4
6.2
“美团”
6
1.2

(1)、填表：在表格的空白处填入相应的数据；

(2)、姚姚的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是姚姚，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？

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24. 某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．现对两支代表队选手的成绩进行统计，绘制的成绩条形统计图和成绩统计分析表如下图所示，其中七年级代表队得6分，10分的选手人数分别为a，b．

成绩统计分析表

队别	平均分	中位数	方差	合格率	优秀率
七年级	$6.7$	m	$3.41$	$90 %$	$20 %$
八年级	n	$7.5$	$1.69$	$80 %$	$10 %$

请根据图表中的信息，解答下列问题：

(1)、填空：

a =

______，

b =

______，

m =

______，

n =

______；

(2)、小荔说七年级队的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但小湾说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．

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错题数（个）	1	2	3	4	5
甲班频数（人）	10	10	5	17	8
乙班频数（人）	4	12	20	8	6

统计量	平均数	中位数	众数	方差
甲班	3.06	$y$	4	1.9764
乙班	$\bar{x}$	3	3	1.2

	平均数/分	中位数/分	众数/分	方差
八（1）班	80	b	82	31.6
八（2）班	a	80	c	78.4

	10	20	30	40	50	60	众数（分钟）	中位数（分钟）	平均数（分钟）	方差（分钟）
AI系统（人数）	1	21	15	3	0	0	20			46.15
老系统（人数）	0	8	18	11	2	1		30	32.5	85.9

	平均月收入/千元	中位数	众数	方差
“滴滴”	6		4	6.2
“美团”		6		1.2

身高 $(c m)$	176	178	180	181	182	185
人数	1	2	3	2	1	1

	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$	9	8	9	9
$S^{2}$	$1.1$	$0.4$	$1.6$	$0.4$

选手	平均成绩	中位数	众数	方差
甲	8	b	9	d
乙	a	9	c	4.4

月收入	4千元	5千元	9千元	11千元
人数（个）	4	3	2	1